It is desired to achieve
for the system of Figure P7.1 when
Find the required value of
.
[Section: 7.4]
[Section: 7.4]
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o valor de
tal que o sistema da Figura P7.1 tenha constante de velocidade
.\n
Dados fornecidos: a função de transferência em malha aberta
Dados fornecidos: a função de transferência em malha aberta
Observação necessária (a figura não foi enviada): vou assumir que a figura é a típica malha unitária (realimentação unitária negativa). Essa é a hipótese padrão quando se pede
sem outra especificação.
Passo 2
O que é
e como calculamos: para uma malha unitária, a constante de velocidade
é definida por
Breve intuição didática: em termos de resposta a uma rampa unitária,
mede a “ganho em velocidade” do laço aberto; operamos o limite
porque estamos examinando o comportamento em baixa frequência (t → ∞), e o fator
vem da relação Laplace entre rampa e seus polos. Não precisa decorar isso demais — para a prova lembre que, em malha unitária,
e basta calcular esse limite.
Passo 3
Forme a expressão de
e simplifique fatores óbvios:
Aqui aparece um fator
no numerador e outro no denominador; podemos cancelar esses
. Após cancelar:
Passo 4
Agora avaliamos o limite quando
(substituindo
na expressão já simplificada), que nos dá
:
Simplificando os termos somados:
Passo 5
Calcule passo a passo os produtos e faça a simplificação aritmética sem calculadora:
Primeiro o produto no numerador:
Primeiro o produto no numerador:
Então
O produto no denominador (exceto
) é
portanto
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
, depois por
):
Logo
Passo 6
Imponha a condição pedida
e resolva para
:
Isolando
:
Calcule o denominador
, então
Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 7
Verificação rápida (substituir
na expressão de
):
Calcule:
confirma-se que dá o valor desejado.