It is desired to achieve K_{v}=40,000 for the system of Figure P7.1 when
G(s)=\frac{300,000(s+5)(s+10)(s+30)}{s(s+60)(s+\alpha)(s+90)}
Find the required value of \alpha.
[Section: 7.4]

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o valor de \alpha tal que o sistema da Figura P7.1 tenha constante de velocidade K_{v}=40\,000.\n
Dados fornecidos: a função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{300\,000\,(s+5)(s+10)(s+30)}{s\,(s+60)(s+\alpha)(s+90)}.
Observação necessária (a figura não foi enviada): vou assumir que a figura é a típica malha unitária (realimentação unitária negativa). Essa é a hipótese padrão quando se pede K_{v} sem outra especificação.

Passo 2

O que é K_{v} e como calculamos: para uma malha unitária, a constante de velocidade K_{v} é definida por
K_{v}=\lim_{s\to 0} s\,G(s).
Breve intuição didática: em termos de resposta a uma rampa unitária, K_{v} mede a “ganho em velocidade” do laço aberto; operamos o limite s\to0 porque estamos examinando o comportamento em baixa frequência (t → ∞), e o fator s vem da relação Laplace entre rampa e seus polos. Não precisa decorar isso demais — para a prova lembre que, em malha unitária,
K_{v}=\lim_{s\to 0}sG(s),
e basta calcular esse limite.

Passo 3

Forme a expressão de sG(s) e simplifique fatores óbvios:
sG(s)=s\cdot\frac{300\,000\,(s+5)(s+10)(s+30)}{s\,(s+60)(s+\alpha)(s+90)}.
Aqui aparece um fator s no numerador e outro no denominador; podemos cancelar esses s. Após cancelar:
sG(s)=\frac{300\,000\,(s+5)(s+10)(s+30)}{(s+60)(s+\alpha)(s+90)}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando s\to 0 (substituindo s=0 na expressão já simplificada), que nos dá K_{v}:
K_{v}=\frac{300\,000\,(0+5)(0+10)(0+30)}{(0+60)(0+\alpha)(0+90)}.
Simplificando os termos somados:
K_{v}=\frac{300\,000\cdot 5\cdot 10\cdot 30}{60\cdot \alpha\cdot 90}.

Passo 5

Calcule passo a passo os produtos e faça a simplificação aritmética sem calculadora:
Primeiro o produto no numerador:
5\cdot 10\cdot 30 = 1\,500.
Então
300\,000\cdot 1\,500 = 450\,000\,000.
O produto no denominador (exceto \alpha) é
60\cdot 90 = 5\,400,
portanto
K_{v}=\frac{450\,000\,000}{5\,400\,\alpha}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 100, depois por 6):
\frac{450\,000\,000}{5\,400}=\frac{4\,500\,000}{54}=\frac{750\,000}{9}=\frac{250\,000}{3}.
Logo
K_{v}=\frac{250\,000}{3\,\alpha}.

Passo 6

Imponha a condição pedida K_{v}=40\,000 e resolva para \alpha:
\frac{250\,000}{3\,\alpha}=40\,000.
Isolando \alpha:
\alpha=\frac{250\,000}{3\cdot 40\,000}.
Calcule o denominador 3\cdot 40\,000=120\,000, então
\alpha=\frac{250\,000}{120\,000}.
Simplificando a fração dividindo por 10\,000:
\alpha=\frac{25}{12}.

Passo 7

Verificação rápida (substituir \alpha=\dfrac{25}{12} na expressão de K_{v}):
K_{v}=\frac{250\,000}{3\cdot (25/12)}=\frac{250\,000}{75/12}=250\,000\cdot\frac{12}{75}.
Calcule:
250\,000\cdot\frac{12}{75}=\frac{3\,000\,000}{75}=40\,000,
confirma-se que dá o valor desejado.

Resposta

\displaystyle \alpha=\frac{25}{12}

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