1. Se você tiver um conjunto de 5 dados \left\{\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right),\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right),\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right),\left(x_{4}, f\left(x_{4}\right),\right\}\right.\right.\right.\right.\right. e desejar fazer uma interpolação linear, isto é, encontrar uma reta que lhe permita obter o valor de \mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{\prime}\right), no qual \mathrm{x}_{1}<x^{\prime}<\mathrm{x}_{2} :
    a. Qual seria o grau do polinômio que você calcularia, isto é, quantos pontos você utilizaria?
    b. E quais pontos da tabela você usaria?

Passo 1

O enunciado dá um conjunto com 5 pontos
\left\{\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right),\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right),\left(x_{4}, f\left(x_{4}\right)\right)\right\} e pede que você faça uma interpolação linear para estimar f(x') no caso em que \,x_{1}<x'<x_{2}.
As perguntas são:
a. Qual seria o grau do polinômio que você calcularia (ou seja, quantos pontos você utilizaria)?
b. Quais pontos da tabela você usaria?

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o grau de um polinômio e quantos pontos são necessários para determiná‑lo. Um polinômio de grau n tem a forma
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots+a_{n}x^{n},
ou seja, tem n+1 coeficientes desconhecidos ( a_{0},a_{1},\dots,a_{n}). Para determinar esses n+1 coeficientes precisamos de n+1 equações independentes, que normalmente obtém‑se avaliando o polinômio em n+1 pontos distintos. Conclusão útil (fórmula prática):
\text{grau do polinômio} = \text{(número de pontos usados)}-1.ôú

Passo 3

“Interpolação linear” significa que queremos usar um polinômio de grau 1 (uma reta) para aproximar f entre dois pontos. Pelo item anterior, um polinômio de grau 1 tem 1+1=2 coeficientes, então precisa de 2 pontos para ser determinado. Isso responde a parte (a): grau 1 e usar 2 pontos.
Explicando de forma prática: a reta que passa pelos pontos (x_a,y_a) e (x_b,y_b) pode ser escrita em forma ponto‑inclinação. O coeficiente angular (inclinação) é
m=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a},
onde y_a=f(x_a) e y_b=f(x_b). A equação da reta é então
p(x)=y_a + m(x-x_a).
Se queremos f(x') com x' entre x_a e x_b, substituímos x=x' e obtemos uma estimativa linear:
f(x') \approx p(x') = y_a + \frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}(x'-x_a).
Outra forma muito usada (forma de Lagrange para dois pontos) é
p(x')=\frac{x'-x_b}{x_a-x_b}\,y_a \;+\; \frac{x'-x_a}{x_b-x_a}\,y_b.

Passo 4

Agora, sobre quais pontos usar no seu caso: o enunciado dá a condição \,x_{1}<x'<x_{2}. Para interpolação linear é natural (e usual em provas e aplicações) escolher os dois pontos que “abraçam” x', ou seja, os pontos imediatamente à esquerda e à direita de x'. No conjunto dado esses pontos são \left(x_{1},f(x_{1})\right) e \left(x_{2},f(x_{2})\right).
Motivo prático e conceitual: ao escolher os pontos que cercam x' você está fazendo uma interpolação local — a reta entre esses dois pontos tende a aproximar melhor a curva entre eles do que uma reta construída a partir de pontos mais distantes. Tecnicamente, qualquer par de pontos distintos determina uma reta, mas para estimar f(x') com x' entre x_{1} e x_{2} a escolha óbvia e correta é usar (x_{1},f(x_{1})) e (x_{2},f(x_{2})).

Passo 5

Vou mostrar um exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha que os pontos sejam (x_{1},f(x_{1}))=(1,2) e (x_{2},f(x_{2}))=(3,8) e queremos f(2) ( 1<2<3). A inclinação é
m=\frac{8-2}{3-1}=\frac{6}{2}=3.
A reta é p(x)=2+3(x-1). Substituindo x'=2,
p(2)=2+3(1)=5,
logo a interpolação linear dá f(2)\approx 5. Isso é feito apenas com os dois pontos que cercam x'.

Passo 6

Dicas para a prova (rápidas e úteis): lembre que “linear” = grau 1 = usar 2 pontos. Sempre escolha os pontos que cercam o x' (vizinho à esquerda e à direita) para uma boa aproximação local. Se o enunciado dissesse x' fora do intervalo dos pontos escolhidos, aí seria extrapolação e você teria que ter cuidado — mas aqui x' está entre x_{1} e x_{2}, então usar esses dois é o correto.

Resposta

a. Grau 1; usar 2 pontos.
b. Usar \left(x_{1},f(x_{1})\right) e \left(x_{2},f(x_{2})\right).

Exercícios relacionados