- Se você tiver um conjunto de 5 dados
e desejar fazer uma interpolação linear, isto é, encontrar uma reta que lhe permita obter o valor de
, no qual
:
a. Qual seria o grau do polinômio que você calcularia, isto é, quantos pontos você utilizaria?
b. E quais pontos da tabela você usaria?
a. Qual seria o grau do polinômio que você calcularia, isto é, quantos pontos você utilizaria?
b. E quais pontos da tabela você usaria?
Passo 1
O enunciado dá um conjunto com 5 pontos
e pede que você faça uma interpolação linear para estimar
no caso em que
.
As perguntas são:
a. Qual seria o grau do polinômio que você calcularia (ou seja, quantos pontos você utilizaria)?
b. Quais pontos da tabela você usaria?
a. Qual seria o grau do polinômio que você calcularia (ou seja, quantos pontos você utilizaria)?
b. Quais pontos da tabela você usaria?
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o grau de um polinômio e quantos pontos são necessários para determiná‑lo. Um polinômio de grau
tem a forma
ou seja, tem
coeficientes desconhecidos (
). Para determinar esses
coeficientes precisamos de
equações independentes, que normalmente obtém‑se avaliando o polinômio em
pontos distintos. Conclusão útil (fórmula prática):
Passo 3
“Interpolação linear” significa que queremos usar um polinômio de grau
(uma reta) para aproximar
entre dois pontos. Pelo item anterior, um polinômio de grau
tem
coeficientes, então precisa de
pontos para ser determinado. Isso responde a parte (a): grau
e usar
pontos.
Explicando de forma prática: a reta que passa pelos pontos
e
pode ser escrita em forma ponto‑inclinação. O coeficiente angular (inclinação) é
onde
e
. A equação da reta é então
Se queremos
com
entre
e
, substituímos
e obtemos uma estimativa linear:
Outra forma muito usada (forma de Lagrange para dois pontos) é
Passo 4
Agora, sobre quais pontos usar no seu caso: o enunciado dá a condição
. Para interpolação linear é natural (e usual em provas e aplicações) escolher os dois pontos que “abraçam”
, ou seja, os pontos imediatamente à esquerda e à direita de
. No conjunto dado esses pontos são
e
.
Motivo prático e conceitual: ao escolher os pontos que cercam
você está fazendo uma interpolação local — a reta entre esses dois pontos tende a aproximar melhor a curva entre eles do que uma reta construída a partir de pontos mais distantes. Tecnicamente, qualquer par de pontos distintos determina uma reta, mas para estimar
com
entre
e
a escolha óbvia e correta é usar
e
.
Passo 5
Vou mostrar um exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha que os pontos sejam
e
e queremos
(
). A inclinação é
A reta é
. Substituindo
,
logo a interpolação linear dá
. Isso é feito apenas com os dois pontos que cercam
.
Passo 6
Dicas para a prova (rápidas e úteis): lembre que “linear” = grau
= usar
pontos. Sempre escolha os pontos que cercam o
(vizinho à esquerda e à direita) para uma boa aproximação local. Se o enunciado dissesse
fora do intervalo dos pontos escolhidos, aí seria extrapolação e você teria que ter cuidado — mas aqui
está entre
e
, então usar esses dois é o correto.
Resposta
a. Grau
; usar
pontos.
b. Usar e
.
b. Usar