a)Quando considera-se o conceito de Gases Ideais quais são as aproximações ou idealizações que são feitas? b) Comparando P V=\frac{1}{3} m N\left\langle v^{2}\right\rangle (obtida via cálculo cinético da pressão) com a lei dos gases ideais, qual é a interpretação física para o conceito de temperatura?
c) Obtenha a energia interna total de um gás ideal.

Passo 1

O enunciado pede três coisas dentro da teoria cinética de gases ideais:
a) Quais idealizações assumimos ao tratar um gás como ideal.
b) Como interpretar fisicamente a temperatura ao comparar
PV = \tfrac{1}{3}\,m\,N\langle v^2\rangle
com a lei dos gases ideais
PV = N k T.
c) Como obter a energia interna total de um gás ideal.

Passo 2

Para tratar um gás como ideal fazemos as seguintes aproximações na teoria cinética:
  • As moléculas são partículas pontuais, ou seja, o volume próprio de cada molécula é desprezível em relação ao volume do recipiente.
  • Não há forças de atração ou repulsão de longo alcance entre as moléculas; elas interagem apenas em colisões pontuais.
  • Todas as colisões, entre moléculas ou com as paredes, são perfeitamente elásticas, de modo que não há perda de energia cinética nessas colisões.
  • Há um número muito grande de moléculas, distribuídas de modo randômico, obedecendo às leis de Newton e garantindo validade estatística.
  • O comportamento permanece clássico, sem efeitos quânticos relevantes (válido quando as distâncias médias entre moléculas são muito maiores do que comprimentos de onda térmicos).

Passo 3

Começamos das duas expressões para a pressão:
PV = \tfrac{1}{3}\,m\,N\langle v^2\rangle
PV = N k T
Igualando-as, obtemos
N k T = \tfrac{1}{3}\,m\,N\langle v^2\rangle
e, dividindo por N k,
T = \frac{m\langle v^2\rangle}{3\,k}\,.
Isso mostra que a temperatura T é diretamente proporcional à energia cinética média por partícula,
\text{energia cinética média} = \tfrac{1}{2}\,m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}\,kT.éé
Fisicamente, T mede o grau de agitação térmica dos átomos ou moléculas.

Passo 4

A energia interna total U de um gás ideal monatomicamente translacional é a soma das energias cinéticas de todas as N moléculas:
U = \sum_{i=1}^{N}\tfrac{1}{2}m v_i^2 = \tfrac{1}{2}m\,N\langle v^2\rangle.
Usando \tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}kT, vem
U = N \,\bigl(\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle\bigr) = N \,\bigl(\tfrac{3}{2}kT\bigr) = \tfrac{3}{2}\,N k T.
Em termos de quantidade de mols n e da constante universal R, isso é
U = \tfrac{3}{2}\,n R T.

Resposta

a) As idealizações são partículas pontuais sem volume próprio, sem interações de longo alcance, colisões perfeitamente elásticas, grande número de moléculas em movimento randômico clássico.
b) A temperatura T é proporcional à energia cinética média translacional de cada molécula, pois
T = \frac{m\langle v^2\rangle}{3k},
logo
\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}kT.
c) A energia interna total de um gás ideal monatomicamente translacional é
U = \tfrac{3}{2}\,N k T \quad\bigl(\text{ou}\;\tfrac{3}{2}\,n R T\bigr).

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