Considere um gás ideal, composto de
moléculas, confinado em um cubo de aresta
.
a) Por simplicidade, considere a componente
do movimento de uma partícula e que as colisões da partícula com as paredes do recipiente sejam elásticas. Encontre a variação do momento linear da partícula entre duas colisões sucessivas com uma mesma parede. Use
, sendo
.
b) Encontre a força média total resultante das inúmeras partículas colidindo com a parede. Use
e a definição de média
.
c) Justifique a seguinte afirmação
.
d) Sabendo que
e utilizando item anterior para mostrar que a pressão é dada por:
e) Por fim, mostre que
.
a) Por simplicidade, considere a componente
b) Encontre a força média total resultante das inúmeras partículas colidindo com a parede. Use
c) Justifique a seguinte afirmação
d) Sabendo que
Passo 1
O enunciado trata de um gás ideal com
moléculas num cubo de aresta
. Vamos usar colisões elásticas de uma partícula com as paredes para achar:
a) a variação de momento e a força instantânea
de uma partícula;
b) a força média total resultante de todas as
partículas e a pressão sobre a parede;
c) justificar que em equilíbrio térmico ;
d) mostrar que
a) a variação de momento
b) a força média total
c) justificar que em equilíbrio térmico
d) mostrar que
e) concluir que
Passo 2
Para a componente
de uma partícula de massa
e velocidade
perpendicular à parede:
- Antes da colisão:
. - Depois (colisão elástica):
.
Logo
O intervalo de tempo até a próxima colisão na mesma parede é o tempo de ida e volta entre as paredes separadas por
:
Portanto a força instantânea média que essa partícula exerce na parede (módulo) é
Passo 3
Somando a contribuição de todas as
partículas e usando a definição de média
, a força total média sobre a parede é
Como a área da parede é
, a pressão é
Passo 4
Em equilíbrio térmico, não há direção preferencial e a energia cinética se distribui igualmente nas três direções. Por simetria,
Passo 5
Sabendo que
toma-se a média
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
resulta-se na forma final
Resposta
a)
,
,
.
b) e
.
c) Por isotropia, .
d) .
e) .
b)
c) Por isotropia,
d)
e)