Considere um gás ideal, composto de N moléculas, confinado em um cubo de aresta L.
a) Por simplicidade, considere a componente x do movimento de uma partícula e que as colisões da partícula com as paredes do recipiente sejam elásticas. Encontre a variação do momento linear da partícula entre duas colisões sucessivas com uma mesma parede. Use f_{x}=\Delta p_{x} / \Delta t, sendo \Delta p_{x}=p_{f}-p_{i}.
b) Encontre a força média total resultante das inúmeras partículas colidindo com a parede. Use F_{x}=\sum_{n=1}^{N} f_{x_{n}} e a definição de média \langle a\rangle=\sum \frac{a_{n}}{N}.
c) Justifique a seguinte afirmação \left\langle v_{x}^{2}\right\rangle=\left\langle v_{y}^{2}\right\rangle= \left\langle v_{z}^{2}\right\rangle.
d) Sabendo que v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2} e utilizando item anterior para mostrar que a pressão é dada por:
P=\frac{m N}{3 L^{3}}\left\langle v^{2}\right\rangle .
e) Por fim, mostre que P V=\frac{1}{3} m N\left\langle v^{2}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal com N moléculas num cubo de aresta L. Vamos usar colisões elásticas de uma partícula com as paredes para achar:
a) a variação de momento \Delta p_x e a força instantânea f_x de uma partícula;
b) a força média total F_x resultante de todas as N partículas e a pressão sobre a parede;
c) justificar que em equilíbrio térmico \langle v_x^2\rangle=\langle v_y^2\rangle=\langle v_z^2\rangle;
d) mostrar que
P=\frac{mN}{3L^3}\,\langle v^2\rangle;
e) concluir que
PV=\tfrac13\,mN\,\langle v^2\rangle.

Passo 2

Para a componente x de uma partícula de massa m e velocidade v_x perpendicular à parede:
  • Antes da colisão: p_i = +m\,v_x.
  • Depois (colisão elástica): p_f = -m\,v_x.
    Logo
\Delta p_x = p_f - p_i = -m\,v_x - m\,v_x = -2\,m\,v_x.
O intervalo de tempo até a próxima colisão na mesma parede é o tempo de ida e volta entre as paredes separadas por L:
\Delta t = \frac{2L}{|v_x|}.
Portanto a força instantânea média que essa partícula exerce na parede (módulo) é
f_x = \frac{|\Delta p_x|}{\Delta t} = \frac{2m\,|v_x|}{2L/|v_x|} = \frac{m\,v_x^2}{L}.

Passo 3

Somando a contribuição de todas as N partículas e usando a definição de média \langle v_x^2\rangle = \tfrac1N\sum_{n}v_{x,n}^2, a força total média sobre a parede é
F_x = \sum_{n=1}^{N} f_{x,n} = \sum_{n=1}^{N}\frac{m\,v_{x,n}^2}{L} = \frac{m}{L}\,N\,\langle v_x^2\rangle.
Como a área da parede é A=L^2, a pressão é
P = \frac{F_x}{A} = \frac{m\,N\,\langle v_x^2\rangle}{L^3}.

Passo 4

Em equilíbrio térmico, não há direção preferencial e a energia cinética se distribui igualmente nas três direções. Por simetria,
\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle.

Passo 5

Sabendo que
v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2,
toma-se a média
\langle v^2\rangle = \langle v_x^2\rangle + \langle v_y^2\rangle + \langle v_z^2\rangle = 3\,\langle v_x^2\rangle.
Substituindo em P = \tfrac{mN\langle v_x^2\rangle}{L^3} obtemos
P = \frac{m\,N}{L^3}\,\frac{\langle v^2\rangle}{3} = \frac{m\,N}{3\,L^3}\,\langle v^2\rangle.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por V=L^3 resulta-se na forma final
P\,V = \frac{1}{3}\,m\,N\,\langle v^2\rangle.

Resposta

a) \Delta p_x=-2m\,v_x, \Delta t=2L/|v_x|, f_x=\tfrac{m\,v_x^2}{L}.
b) F_x=\tfrac{mN}{L}\langle v_x^2\rangle e P=\tfrac{mN}{L^3}\langle v_x^2\rangle.
c) Por isotropia, \langle v_x^2\rangle=\langle v_y^2\rangle=\langle v_z^2\rangle.
d) P=\tfrac{mN}{3L^3}\langle v^2\rangle.
e) PV=\tfrac13\,mN\,\langle v^2\rangle.

Exercícios relacionados