a)Para um gás ideal, quando a temperatura é mantida constante temos a Lei de Boyle, PV = constante. Explique essa lei baseado na teoria cinética dos gases, isto é, b) em termos de probabilidades de colisões das partículas do gás com o recipiente.
Para um gás ideal, quando o volume é mantida constante temos a Lei de Gay-Lussac, P \propto T. Explique essa lei baseado na teoria cinética dos gases, isto é, em termos de probabilidades de colisões das partículas do gás com o recipiente.
c1) Para um gás ideal, quando a pressão é mantida constante temos a Lei de Charles, V \propto T. Explique essa lei baseado na teoria cinética dos gases, isto é, em termos de probabilidades de colisões das partículas do gás com o recipiente.
c2) Explique qual a relação entre essa lei e a estimativa da temperatura correspondente ao zero absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos, usando a teoria cinética dos gases e a ideia de colisões das moléculas com as paredes do recipiente, três leis empíricas:
  • Lei de Boyle ( T constante \Rightarrow PV= constante),
  • Lei de Gay-Lussac ( V constante \Rightarrow P\propto T),
  • Lei de Charles ( P constante \Rightarrow V\propto T),
    e em seguida relacionar a Lei de Charles com a estimativa do zero absoluto.
    Para isso, vamos usar a expressão da pressão em teoria cinética e a relação entre temperatura e energia cinética média.

Passo 2

Na teoria cinética, a pressão P de um gás ideal resulta do impulso médio transferido pelas moléculas ao colidirem com as paredes. Se tivermos N moléculas de massa m num volume V e definirmos a velocidade quadrática média \overline{v^2}, então
P = \frac{1}{3}\,\frac{N}{V}\,m\,\overline{v^2}.
Além disso, a temperatura absoluta T está relacionada à energia cinética média por
\frac{1}{2}m\,\overline{v^2} = \frac{3}{2}k_B\,T,
onde k_B é a constante de Boltzmann.

Passo 3

a) Mantendo T constante, a velocidade quadrática média \overline{v^2} fica fixa. Assim, na fórmula
P = \frac{1}{3}\,\frac{N}{V}\,m\,\overline{v^2},
o numerador \bigl(N\,m\,\overline{v^2}\bigr) é constante, logo
P \propto \frac{1}{V} \quad\Longrightarrow\quad P\,V = \text{constante},
que é justamente a Lei de Boyle. Fisicamente, aumentar V diminui a densidade de colisões por unidade de área, baixando P, e vice-versa.

Passo 4

b) Mantendo V constante, a densidade N/V não muda. Da mesma forma,
P = \frac{1}{3}\,\frac{N}{V}\,m\,\overline{v^2}
fica proporcional a \overline{v^2}. Mas como \overline{v^2}\propto T, concluímos
P \propto T,
que é a Lei de Gay-Lussac. Aumentar T faz as moléculas se moverem mais rápido, transferindo mais impulso a cada colisão e elevando P.

Passo 5

c1) Mantendo P constante, da mesma expressão
P = \frac{1}{3}\,\frac{N}{V}\,m\,\overline{v^2}
vemos que, para compensar o aumento de \overline{v^2}\propto T, o fator N/V deve diminuir na mesma proporção, ou seja, V\propto T. Essa é a Lei de Charles: para manter a mesma taxa de colisões por área (mesmo P), o volume cresce quando T aumenta.

Passo 6

c2) Se plotarmos V em função de T na Lei de Charles, obtemos uma reta que, ao extrapolar para V=0, atinge uma temperatura T_0 negativa. Experimentalmente, essa extrapolação dá T_0\approx -273{,}15\,^\circ\mathrm{C}. Esse valor corresponde ao zero absoluto, pois é o ponto em que, teoricamente, o volume de um gás ideal (e, portanto, o movimento das moléculas) se anula.

Resposta

a) A Lei de Boyle ( PV= constante a T fixa) vem do fato de que P\propto (N/V)\overline{v^2} e \overline{v^2} não muda se T é constante, logo P\propto1/V.
b) A Lei de Gay-Lussac ( P\propto T a V fixa) resulta de P\propto\overline{v^2} e \overline{v^2}\propto T, pois maior T significa colisões mais energéticas.
c1) A Lei de Charles ( V\propto T a P fixa) decorre de manter P\propto(N/V)\overline{v^2} constante: se \overline{v^2}\propto T cresce, V também deve crescer.
c2) Extrapolando V versus T para V=0 chega-se a cerca de -273{,}15\,^\circ\mathrm{C}, estimando o zero absoluto, onde o movimento molecular cessa.

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