1. Considera a função f(x) real de variável real definida por: f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+1}
    a. Determina o domínio da função.
    b. Determina os valores de x para os quais f(x) \leq 0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 1}
e pede:
a) o domínio de f;
b) os x tais que f(x)\le 0.
O conteúdo aqui é funções racionais: vamos excluir pontos que anulam o denominador e depois fazer estudo de sinal.

Passo 2

O denominador é x+1. A função só deixa de existir quando x+1=0, isto é, em x=-1. Logo o domínio é todos os reais, exceto -1:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 3

Para estudar o sinal de f(x), fatoramos o numerador:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2),
portanto
f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}.

Passo 4

Os pontos que anulam numerador ou tornam denominador zero são os críticos do sinal:
x=2,\quad x=-2,\quad x=-1.
Em x=2 e x=-2 temos f(x)=0. Em x=-1 f é indefinida.

Passo 5

Analisamos cada intervalo:
Para x<-2: (x-2)>0, (x+2)<0 ⇒ numerador <0; (x+1)<0 ⇒ denominador <0;
logo f(x)>0\div<0 = <0.
Para -2<x<-1: (x-2)<0, (x+2)>0 ⇒ numerador <0; (x+1)<0 ⇒ denominador <0;
logo f(x)>0.
Para -1<x<2: (x-2)<0, (x+2)>0 ⇒ numerador <0; (x+1)>0 ⇒ denominador >0;
logo f(x)<0.
Para x>2: (x-2)>0, (x+2)>0 ⇒ numerador >0; (x+1)>0 ⇒ denominador >0;
logo f(x)>0.
Como queremos f(x)\le0, incluímos onde f<0 e os zeros do numerador:
x\in(-\infty,-2]\;\cup\;(-1,2].

Resposta

a) \text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
b) f(x)\le0 para
x\in(-\infty,-2]\;\cup\;(-1,2]. \)

Exercícios relacionados