1. Considera o polinómio p(x)=2 x^{4}-a x^{3}+b x^{2}+x-6, sabe-se que é divisível por (x+3)(x+2).
    a. Determina a \in b.
    b. Decomponha p(x) num produto de factores.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
p(x) = 2x^{4} - a x^{3} + b x^{2} + x - 6
e diz que é divisível por (x+3)(x+2).
Conteúdo: zeros de polinómio e factorização.
Vamos usar que p(-3)=0 e p(-2)=0 para obter um sistema em a,b, resolver, e depois decompor p(x) em fatores lineares usando divisão polinomial e factorizar o quadrático resultante.

Passo 2

Calcular p(-3)=0. Substituindo x=-3:
p(-3) = 2(-3)^{4} - a(-3)^{3} + b(-3)^{2} + (-3) - 6 = 162 +27a +9b -3 -6 = 27a +9b +153.
Como p(-3)=0, obtemos
27a + 9b + 153 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3a + b + 17 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -3a - 17.

Passo 3

Calcular p(-2)=0. Substituindo x=-2:
p(-2) = 2(-2)^{4} - a(-2)^{3} + b(-2)^{2} + (-2) - 6 = 32 +8a +4b -2 -6 = 8a +4b +24.
Logo,
8a + 4b + 24 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a + b + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -2a - 6.

Passo 4

Resolver o sistema
\begin{cases} b = -3a - 17,\\\ b = -2a - 6. \end{cases}
Igualando as expressões de b:
-3a - 17 = -2a - 6 \quad\Longrightarrow\quad -3a +2a = -6 +17 \quad\Longrightarrow\quad -a = 11 \quad\Longrightarrow\quad a = -11.
Então
b = -2(-11) - 6 = 22 - 6 = 16.

Passo 5

Com a=-11 e b=16, o polinómio fica
p(x) = 2x^{4} + 11x^{3} + 16x^{2} + x - 6.
Como é divisível por (x+3)(x+2), fazemos divisão sintética sucessiva:
Para x+3 x=-3 com coeficientes 2,\,11,\,16,\,1,\,-6, obtemos quociente
2x^{3} + 5x^{2} + x - 2.
Para x+2 x=-2 sobre este quociente, com coeficientes 2,\,5,\,1,\,-2, obtemos quociente
2x^{2} + x - 1.
Logo
p(x) = (x+3)(x+2)\bigl(2x^{2} + x - 1\bigr).

Passo 6

Factorizar o quadrático 2x^{2} + x -1. Procuramos dois números cujo produto seja 2\cdot(-1)=-2 e soma 1. Esses números são 2 e -1.
Fazendo agrupamento ou reconhecimento imediato,
2x^{2} + x - 1 = (2x - 1)(x + 1).

Resposta

a. a = -11, b = 16.
b.
p(x) = (x+3)\,(x+2)\,(2x-1)\,(x+1).

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