1. Considera o polinómio A(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-a :
    a. Determina o valor de a, de modo que -2 seja raiz de A(x).
    b. Decomponha o polinómio A(x) num produto de factores do 1^{\circ} grau.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
A(x)=x^{3}-2x^{2}+x - a
e pede:
(a) o valor de a para que -2 seja raiz de A(x);
(b) a decomposição de A(x) em factores do 1.º grau.
O conteúdo necessário envolve o Teorema do Resto (ou do Zero), divisão sintética para retirar o fator (x - r) e a fórmula de Bhaskara para factorizar quadráticas.

Passo 2

Para que -2 seja raiz, impomos
A(-2)=(-2)^{3}-2(-2)^{2}+(-2)-a=0.
Calculando cada termo:
(-2)^{3}=-8,\quad -2(-2)^{2}=-2\cdot4=-8,\quad +(-2)=-2,
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-8-8-2 - a=0\quad\Longrightarrow\quad -18 - a=0\quad\Longrightarrow\quad a=-18.

Passo 3

Substituindo a=-18, temos
A(x)=x^{3}-2x^{2}+x+18.
Como sabemos que -2 é raiz, factor x+2 divide A(x). Usamos divisão sintética com -2:
\begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & 1 & 18\\hline & & -2 & 8 & -18\\\ & 1 & -4 & 9 & 0 \end{array}
O quociente é x^{2}-4x+9 e o resto é zero, confirmando
A(x)=(x+2)\bigl(x^{2}-4x+9\bigr).

Passo 4

Para factorizar x^{2}-4x+9 em fatores lineares, resolvemos as raízes via Bhaskara:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot9 =16-36 = -20,
x = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{2} = 2 \pm i\sqrt{5}.
Portanto
x^{2}-4x+9 = (x-(2+i\sqrt{5}))\,(x-(2-i\sqrt{5})).

Resposta

a=-18
A(x)=(x+2)\,(x-(2+i\sqrt{5}))\,(x-(2-i\sqrt{5})).

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