Considerando apenas x \in[0,2 \pi], determine o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{\operatorname{sen}^{2} x-\operatorname{sen} x}{\cos x}}

Passo 1

O enunciado dá que x está restrito ao intervalo [0,2\pi] e pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{sen} x}{\cos x}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio pedido é apenas para x\in[0,2\pi].
  • A função envolve uma raiz quadrada; portanto o conteúdo dentro da raiz (o radicando) deve ser maior ou igual a zero.
  • O radicando é a expressão \dfrac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{sen} x}{\cos x}, que também exige que o denominador \cos x seja diferente de zero.

Passo 2

Condições gerais que devemos impor (explicando o porquê):
  • Para que a raiz quadrada esteja definida, precisamos de
\frac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{sen} x}{\cos x}\ge 0.
  • Além disso, divisão por zero é proibida, então
\cos x \neq 0.
Essas duas condições juntas determinam o domínio.

Passo 3

Fatorar a expressão do numerador para facilitar a análise:
\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{sen} x=\operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x-1).
Então o radicando fica
\frac{\operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x-1)}{\cos x}.
Isso nos mostra que os sinais relevantes vêm dos três fatores \operatorname{sen} x, \operatorname{sen} x-1 e \cos x.

Passo 4

Determinar os pontos onde algum fator é zero (esses pontos dividem o intervalo em subintervalos):
  • \operatorname{sen} x=0 em \;x=0,\pi,2\pi (todos em [0,2\pi]).
  • \operatorname{sen} x-1=0 em \;x=\tfrac{\pi}{2}.
  • \cos x=0 em \;x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}.
Observação importante: em x=\tfrac{\pi}{2} tanto \operatorname{sen} x-1=0 (numerador zero) quanto \cos x=0 (denominador zero), portanto a expressão fica indefinida ali (forma 0/0 ou divisão por zero) — então x=\tfrac{\pi}{2} deve ser excluído do domínio.

Passo 5

Fazer análise de sinais nos subintervalos determinados pelos pontos 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi. Para cada subintervalo escolho um ponto-teste e avalio o sinal de cada fator.
  • Intervalo (0,\tfrac{\pi}{2}). Teste x=\tfrac{\pi}{6}:
    • \operatorname{sen} x>0,
    • \operatorname{sen} x-1<0 (porque \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}<1),
    • \cos x>0.
      Produto: \operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x-1)<0, dividido por \cos x>0 dá fracção negativa. Logo o radicando é negativo nesse intervalo → excluído.
  • Ponto x=0: \sen0=0 ⇒ numerador 0, \cos0=1\neq0 ⇒ radicando 0. A raiz de 0 é 0, portanto x=0 pertence ao domínio.
  • Ponto x=\tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0 ⇒ proibido (divisão por zero). Excluído.
  • Intervalo (\tfrac{\pi}{2},\pi). Teste x=\tfrac{2\pi}{3}:
    • \operatorname{sen} x>0 (≈0,866),
    • \operatorname{sen} x-1<0 (≈−0,134),
    • \cos x<0.
      Produto: numerador <0, denom <0 ⇒ quociente >0. Radicando não-negativo nesse intervalo → incluímos (\tfrac{\pi}{2},\pi).
  • Ponto x=\pi: \operatorname{sen}\pi=0 ⇒ numerador 0, \cos\pi=-1\neq0 ⇒ radicando 0. Logo x=\pi pertence ao domínio.
  • Intervalo (\pi,\tfrac{3\pi}{2}). Teste x=\tfrac{4\pi}{3}:
    • \operatorname{sen} x<0,
    • \operatorname{sen} x-1<0,
    • \cos x<0.
      Produto: numerador >0 (negativo vezes negativo), denom <0 ⇒ quociente <0. Radicando negativo → excluído.
  • Ponto x=\tfrac{3\pi}{2}: \cos\tfrac{3\pi}{2}=0 ⇒ divisão por zero → excluído.
  • Intervalo (\tfrac{3\pi}{2},2\pi). Teste x=\tfrac{5\pi}{3}:
    • \operatorname{sen} x<0,
    • \operatorname{sen} x-1<0,
    • \cos x>0.
      Produto: numerador >0, denom >0 ⇒ quociente >0. Radicando não-negativo → incluímos (\tfrac{3\pi}{2},2\pi).
  • Ponto x=2\pi: \sen2\pi=0 ⇒ numerador 0, \cos2\pi=1 ⇒ radicando 0. Logo x=2\pi pertence ao domínio.

Passo 6

Juntando tudo: os subintervalos onde a condição \dfrac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{sen} x}{\cos x}\ge0 é satisfeita (e onde \cos x\neq0) dentro de [0,2\pi] são:
  • o ponto isolado x=0,
  • o intervalo \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right] (inclui \pi),
  • o intervalo \left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right] (inclui 2\pi).
Expliquei anteriormente por que \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2} são excluídos (coseno zero) e por que 0,\pi,2\pi são incluídos (radicando zero, denominador não nulo).

Resposta

\{0\}\\ \cup\\ \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]\\ \cup\\ \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right]

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