Considerando apenas
, determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado dá que
está restrito ao intervalo
e pede o domínio da função
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio pedido é apenas para
. - A função envolve uma raiz quadrada; portanto o conteúdo dentro da raiz (o radicando) deve ser maior ou igual a zero.
- O radicando é a expressão
, que também exige que o denominador seja diferente de zero.
Passo 2
Condições gerais que devemos impor (explicando o porquê):
- Para que a raiz quadrada esteja definida, precisamos de
- Além disso, divisão por zero é proibida, então
Essas duas condições juntas determinam o domínio.
Passo 3
Fatorar a expressão do numerador para facilitar a análise:
Então o radicando fica
Isso nos mostra que os sinais relevantes vêm dos três fatores
,
e
.
Passo 4
Determinar os pontos onde algum fator é zero (esses pontos dividem o intervalo em subintervalos):
-
em (todos em ). -
em . -
em .
Observação importante: em
tanto
(numerador zero) quanto
(denominador zero), portanto a expressão fica indefinida ali (forma
ou divisão por zero) — então
deve ser excluído do domínio.
Passo 5
Fazer análise de sinais nos subintervalos determinados pelos pontos
. Para cada subintervalo escolho um ponto-teste e avalio o sinal de cada fator.
-
Intervalo
. Teste : -
, -
(porque ), -
.
Produto:, dividido por dá fracção negativa. Logo o radicando é negativo nesse intervalo → excluído.
-
-
Ponto
: ⇒ numerador , ⇒ radicando . A raiz de é , portanto pertence ao domínio. -
Ponto
: ⇒ proibido (divisão por zero). Excluído. -
Intervalo
. Teste : -
(≈0,866), -
(≈−0,134), -
.
Produto: numerador, denom ⇒ quociente . Radicando não-negativo nesse intervalo → incluímos .
-
-
Ponto
: ⇒ numerador , ⇒ radicando . Logo pertence ao domínio. -
Intervalo
. Teste : -
, -
, -
.
Produto: numerador(negativo vezes negativo), denom ⇒ quociente . Radicando negativo → excluído.
-
-
Ponto
: ⇒ divisão por zero → excluído. -
Intervalo
. Teste : -
, -
, -
.
Produto: numerador, denom ⇒ quociente . Radicando não-negativo → incluímos .
-
-
Ponto
: ⇒ numerador , ⇒ radicando . Logo pertence ao domínio.
Passo 6
Juntando tudo: os subintervalos onde a condição
é satisfeita (e onde
) dentro de
são:
- o ponto isolado
, - o intervalo
(inclui ), - o intervalo
(inclui ).
Expliquei anteriormente por que
e
são excluídos (coseno zero) e por que
são incluídos (radicando zero, denominador não nulo).