Sejam as funções reais g\) e \(f \circ g\) definidas por \[g(x)=3 x-1 \quad \text { e } \quad(f \circ g)(x)= \begin{cases}x^{2}+4 x+1, & x \geq 0 \\\\ 2 x+3, & x<0\end{cases}
a. [1,0]\] Determine a lei de formação da função \(f.
b. [0,5] Determine o domínio de f.
c. [0,5] Diga, justificando, se f, g e f \circ g são injetoras.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada g\) e a composição \(f\circ g\): \[g(x)=3x-1
(f\circ g)(x)=\begin{cases} x^{2}+4x+1, & x\ge 0,\\[4pt] 2x+3, & x<0. \end{cases}
  • O que pedem:
    a) Determinar a lei de formação de f\] (ou seja, achar \(f(t) para um argumento genérico t).b) Determinar o domínio de f.
    c) Dizer, justificando, se f, g e f\circ g são injetoras.
A partir daqui vou achar f explicitamente usando a relação f(g(x))=(f\circ g)(x) e explicar passo a passo as justificativas pedidas.]

Passo 2

Trocar a variável para expressar f diretamente. A ideia é escrever y=g(x) e inverter essa relação para escrever x em função de y. Assim poderemos escrever f(y)= (f\circ g)(x) com x expresso por y.
  • Defina y=g(x)=3x-1. Então y=3x-1 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y+1}{3}.
  • Vou usar y como variável genérica da função f. Para conectar com a notação usual, mais adiante escrevo f(x) em vez de f(y) — é só renomear a variável.

Passo 3

Determinar como as condições x\ge 0 e x<0 se traduzem em condições sobre y.
  • A condição x\ge 0 é equivalente a \frac{y+1}{3}\ge 0 \quad\Leftrightarrow\quad y+1\ge 0 \quad\Leftrightarrow\quad y\ge -1.
  • A condição x<0 é equivalente a y< -1.
Portanto, ao escrever f em termos de y, as duas peças ocorrerão para y\ge -1 e para y< -1, respectivamente.

Passo 4

Substituir x=\dfrac{y+1}{3} nas fórmulas de (f\circ g)(x) para obter f(y), e simplificar passo a passo.
  1. Para y\ge -1 (correspondente a x\ge 0):
f(y)=\left(\frac{y+1}{3}\right)^{2}+4\left(\frac{y+1}{3}\right)+1.
Agora simplifico em passos:
\left(\frac{y+1}{3}\right)^{2}=\frac{(y+1)^{2}}{9}, \qquad 4\left(\frac{y+1}{3}\right)=\frac{4(y+1)}{3}=\frac{12(y+1)}{9}.
Somando os termos com denominador 9:
f(y)=\frac{(y+1)^{2}+12(y+1)+9}{9}.
Expando o numerador:
(y+1)^{2}+12(y+1)+9 = (y^{2}+2y+1)+12y+12+9 = y^{2}+14y+22.
Logo, para y\ge -1,
f(y)=\frac{y^{2}+14y+22}{9}.
  1. Para y< -1 (correspondente a x<0):
f(y)=2\left(\frac{y+1}{3}\right)+3=\frac{2(y+1)}{3}+3.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador 3:
f(y)=\frac{2y+2+9}{3}=\frac{2y+11}{3}.

Passo 5

Escrever a lei final de [f) (renomeando y para x para a forma usual f(x)) e comentar a cobertura de todos os reais.
Assim, a função f é
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}+14x+22}{9}, & x\ge -1,\\[8pt] \dfrac{2x+11}{3}, & x< -1. \end{cases}
Note que as duas peças cobrem x< -1\] e \(x\ge -1, isto é, todos os x\in\mathbb{R}. Vou usar isso na parte do domínio.]

Passo 6

Determinar o domínio de f e justificar claramente.
  • Pela forma obtida acima, f tem uma expressão para x< -1 e outra para x\ge -1. Essas duas peças cobrem todos os reais, logo o domínio natural indicado pela lei é \mathbb{R}.
  • Outra justificativa (conceitual): g(x)=3x-1 é linear com coeficiente não nulo, portanto é sobrejetora em \mathbb{R} (ou seja, sua imagem é \mathbb{R}). Como f\circ g está definido para todo x\in\mathbb{R}, f precisa estar definido para toda a imagem de g, isto é, para todo \mathbb{R}. Portanto o domínio de f é \mathbb{R}.

Passo 7

Definir injetividade e estratégia de verificação (ideia didática).
  • Definição: uma função h é injetora se, sempre que h(a)=h(b), então a=b. Um caminho prático é:
    • provar injetividade mostrando que a função é estritamente monótona (estritamente crescente ou decrescente) em todo o domínio, ou
    • encontrar dois argumentos distintos que levam ao mesmo valor (contrapositivo: existe uma contraprova única basta um contraexemplo).
  • Vou aplicar essas ideias a g, f e f\circ g.

Passo 8

Verificar se g é injetora.
  • g(x)=3x-1 é uma função afim com coeficiente angular 3\neq 0. Funções lineares ax+b com a\neq 0 são estritamente monotônicas (aqui estritamente crescentes), logo injetoras.
  • Prova algébrica curta: se g(a)=g(b) então 3a-1=3b-1\Rightarrow 3a=3b\Rightarrow a=b. Logo g é injetora.

Passo 9

Verificar se [f\circ g) é injetora.
  • Observação: (f\circ g)(x) foi dada por partes: (f\circ g)(x)=\begin{cases} x^{2}+4x+1, & x\ge 0,\\[4pt] 2x+3, & x<0. \end{cases}
  • Cada ramo isoladamente é injetor sobre seu intervalo:
    • Para x\ge 0\]: \(x^{2}+4x+1 tem derivada 2x+4\ge 4>0 em [0,\infty), portanto é estritamente crescente em [0,\infty) e assim injetora nesse intervalo.
    • Para x<0: 2x+3 é linear com coeficiente 2\neq 0, logo estritamente crescente e injetora em (-\infty,0).
  • Porém a injetividade global falha se existir x_1\ge 0 e x_2<0 distintos com (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). Vou dar um contraexemplo numérico simples:
    • Tome x_1=0 (então usa-se o ramo x\ge 0). (f\circ g)(0)=0^{2}+4\cdot 0+1=1.
    • Tome x_2=-1 (então usa-se o ramo x<0). (f\circ g)(-1)=2(-1)+3=1.
    • Temos (f\circ g)(0)=(f\circ g)(-1)=1 com 0\neq -1. Assim existe um par de argumentos distintos que dão o mesmo valor, portanto f\circ g NÃO é injetora.]

Passo 10

Verificar se f é injetora.
  • Cada ramo de f é estritamente crescente em seu intervalo:
    • Para x< -1: f(x)=\dfrac{2x+11}{3} tem derivada 2/3>0, logo estritamente crescente em (-\infty,-1).
    • Para x\ge -1: f(x)=\dfrac{x^{2}+14x+22}{9} tem derivada \dfrac{2x+14}{9}. Em x\ge -1, 2x+14\ge 12>0, logo essa peça é estritamente crescente em [-1,\infty).
  • Mesmo que cada peça seja crescente, ainda pode haver valores iguais obtidos por argumentos de peças diferentes. Vou fornecer um contraexemplo explicitamente:
    • Calcule f(0) usando a peça x\ge -1: f(0)=\frac{0^{2}+14\cdot 0+22}{9}=\frac{22}{9}.
    • Procuro t< -1 tal que f(t)=\dfrac{22}{9}. Na peça esquerda: \frac{2t+11}{3}=\frac{22}{9}.Multiplicando por 9: 3(2t+11)=22 \Rightarrow 6t+33=22 \Rightarrow 6t=-11 \Rightarrow t=-\dfrac{11}{6}.
      Observa-se que -\dfrac{11}{6}\approx -1{,}833< -1, logo é permitido para a peça esquerda.
    • Assim f(0)=f\!\left(-\dfrac{11}{6}\right)=\dfrac{22}{9} com 0\neq -\dfrac{11}{6}. Portanto f NÃO é injetora.
  • Conclusão: apesar de cada ramo ser crescente, as imagens das duas peças se sobrepõem (por exemplo em valores à volta de 2), o que produz não-injetividade global.

Resposta

a) f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}+14x+22}{9}, & x\ge -1,\\[8pt] \dfrac{2x+11}{3}, & x< -1. \end{cases}
b) \mathbb{R}
c) f não é injetora.
g é injetora.
f\circ g não é injetora.]

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