O que pedem:
a) Determinar a lei de formação de f\] (ou seja, achar \(f(t) para um argumento genérico t).b) Determinar o domínio de f.
c) Dizer, justificando, se f, g e f\circ g são injetoras.
A partir daqui vou achar f explicitamente usando a relação f(g(x))=(f\circ g)(x) e explicar passo a passo as justificativas pedidas.]
Passo 2
Trocar a variável para expressar f diretamente. A ideia é escrever y=g(x) e inverter essa relação para escrever x em função de y. Assim poderemos escrever f(y)= (f\circ g)(x) com x expresso por y.
Note que as duas peças cobrem x< -1\] e \(x\ge -1, isto é, todos os x\in\mathbb{R}. Vou usar isso na parte do domínio.]
Passo 6
Determinar o domínio de f e justificar claramente.
Pela forma obtida acima, f tem uma expressão para x< -1 e outra para x\ge -1. Essas duas peças cobrem todos os reais, logo o domínio natural indicado pela lei é \mathbb{R}.
Outra justificativa (conceitual): g(x)=3x-1 é linear com coeficiente não nulo, portanto é sobrejetora em \mathbb{R} (ou seja, sua imagem é \mathbb{R}). Como f\circ g está definido para todo x\in\mathbb{R}, f precisa estar definido para toda a imagem de g, isto é, para todo \mathbb{R}. Portanto o domínio de f é \mathbb{R}.
Passo 7
Definir injetividade e estratégia de verificação (ideia didática).
Definição: uma função h é injetora se, sempre que h(a)=h(b), então a=b. Um caminho prático é:
provar injetividade mostrando que a função é estritamente monótona (estritamente crescente ou decrescente) em todo o domínio, ou
encontrar dois argumentos distintos que levam ao mesmo valor (contrapositivo: existe uma contraprova única basta um contraexemplo).
Vou aplicar essas ideias a g, f e f\circ g.
Passo 8
Verificar se g é injetora.
g(x)=3x-1 é uma função afim com coeficiente angular 3\neq 0. Funções lineares ax+b com a\neq 0 são estritamente monotônicas (aqui estritamente crescentes), logo injetoras.
Prova algébrica curta: se g(a)=g(b) então 3a-1=3b-1\Rightarrow 3a=3b\Rightarrow a=b. Logo g é injetora.
Passo 9
Verificar se [f\circ g) é injetora.
Observação: (f\circ g)(x) foi dada por partes:(f\circ g)(x)=\begin{cases} x^{2}+4x+1, & x\ge 0,\\[4pt] 2x+3, & x<0. \end{cases}
Cada ramo isoladamente é injetor sobre seu intervalo:
Para x\ge 0\]: \(x^{2}+4x+1 tem derivada 2x+4\ge 4>0 em [0,\infty), portanto é estritamente crescente em [0,\infty) e assim injetora nesse intervalo.
Para x<0: 2x+3 é linear com coeficiente 2\neq 0, logo estritamente crescente e injetora em (-\infty,0).
Porém a injetividade global falha se existir x_1\ge 0 e x_2<0 distintos com (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). Vou dar um contraexemplo numérico simples:
Tome x_1=0 (então usa-se o ramo x\ge 0). (f\circ g)(0)=0^{2}+4\cdot 0+1=1.
Tome x_2=-1 (então usa-se o ramo x<0). (f\circ g)(-1)=2(-1)+3=1.
Temos (f\circ g)(0)=(f\circ g)(-1)=1 com 0\neq -1. Assim existe um par de argumentos distintos que dão o mesmo valor, portanto f\circ g NÃO é injetora.]
Passo 10
Verificar se f é injetora.
Cada ramo de f é estritamente crescente em seu intervalo:
Para x< -1: f(x)=\dfrac{2x+11}{3} tem derivada 2/3>0, logo estritamente crescente em (-\infty,-1).
Para x\ge -1: f(x)=\dfrac{x^{2}+14x+22}{9} tem derivada \dfrac{2x+14}{9}. Em x\ge -1, 2x+14\ge 12>0, logo essa peça é estritamente crescente em [-1,\infty).
Mesmo que cada peça seja crescente, ainda pode haver valores iguais obtidos por argumentos de peças diferentes. Vou fornecer um contraexemplo explicitamente:
Calcule f(0) usando a peça x\ge -1:f(0)=\frac{0^{2}+14\cdot 0+22}{9}=\frac{22}{9}.
Procuro t< -1 tal que f(t)=\dfrac{22}{9}. Na peça esquerda:\frac{2t+11}{3}=\frac{22}{9}.Multiplicando por 9: 3(2t+11)=22 \Rightarrow 6t+33=22 \Rightarrow 6t=-11 \Rightarrow t=-\dfrac{11}{6}.
Observa-se que -\dfrac{11}{6}\approx -1{,}833< -1, logo é permitido para a peça esquerda.
Assim f(0)=f\!\left(-\dfrac{11}{6}\right)=\dfrac{22}{9} com 0\neq -\dfrac{11}{6}. Portanto f NÃO é injetora.
Conclusão: apesar de cada ramo ser crescente, as imagens das duas peças se sobrepõem (por exemplo em valores à volta de 2), o que produz não-injetividade global.