Ao resolver a inequação
uma pessoa apresentou o seguinte desenvolvimento:
Ela concluiu, então, que o conjunto solução é formado por todos os valores de
tais que
a.
Verifique se há erro nas passagens (1)
e (2)
. Justifique sua resposta.
b. [1,5] Resolva corretamente a inequação dada.
b. [1,5] Resolva corretamente a inequação dada.
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede duas coisas:
- (a) Verificar se há erro nas passagens
e do desenvolvimento apresentado e justificar. - (b) Resolver corretamente a inequação.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão não está definida em
(denominador zero), portanto . - A raiz quadrada
é igual a , não a em geral. - Ao multiplicar uma inequação por uma expressão que depende de
(por exemplo ), é preciso observar o sinal dessa expressão, pois se for negativa a desigualdade muda de sinal.
Passo 2
Análise da passagem
.
A passagem foi
Isto corresponde a multiplicar ambos os membros por
. Essa operação é válida, mas só sem trocar o sentido da desigualdade se o fator multiplicador for positivo. Portanto:
- Se
(ou seja, ), a multiplicação por preserva o sinal e a passagem é correta. - Se
(ou seja, ), ao multiplicar por a desigualdade deve inverter o sinal; a passagem dada ignora isso e, portanto, é incorreta para . - Além disso,
é proibido (não se pode multiplicar por zero).
Conclusão sobre
: é correta somente sob a hipótese
; para
a passagem não é válida (e
é excluído do domínio).
Passo 3
Análise da passagem
.
A passagem foi
ou seja, foi feita a substituição
.
No entanto, a identidade correta é
A igualdade
vale apenas quando
, i.e.
. Se
então
.
Conclusão sobre
: a substituição
é correta apenas para
; para
é incorreta.
Passo 4
Resultado combinado sobre as duas passagens.
- A passagem
exige . - A passagem
exige .
Para que ambas as passagens sejam simultaneamente válidas precisamos de
e
, isto é
. Portanto o desenvolvimento apresentado é apenas válido se o autor implicitamente assumiu
. Fora desse caso (por exemplo para
ou para
) as passagens contêm erros: ou esquece-se de inverter a desigualdade ao multiplicar por
quando
, ou substitui-se
por
quando
.
Passo 5
Resolver a inequação corretamente — primeiro reescrever a raiz em termos de valor absoluto e colocar tudo num único quociente.
Escrevendo
e levando tudo para o mesmo lado:
Calculando o numerador:
Denotando
a inequação equivale a
Então precisamos estudar o sinal da função racional
. Fazemos separação pelos pontos críticos
(denominador) e
(mudança no valor absoluto).
Passo 6
Expressão de
em cada intervalo.
- Se
, então , logo
- Se
, então , logo
Determinar as raízes relevantes:
- Raízes de
:
Denotemos
e
. Numeric:
,
.
- Raízes de
:
Denotemos
e
.
Passo 7
Estudo do sinal da fração em cada intervalo.
Intervalos a considerar:
.
- Para
: o denominador . Para que a fração seja é necessário que o numerador seja . Como aqui usamos a forma . Queremos
A solução dessa desigualdade é
. Intersectando com
dá
isto é
(fronteiras excluídas porque a inequação é estrita e porque
não pertence ao domínio.)
- Para
: o denominador . Aqui usamos ainda . Queremos
ou seja
. A solução de
é
ou
. Intersecando com
fica apenas a parte
, portanto
Note que
, então esse intervalo é
.
- Para
: o denominador e agora . Queremos :
A solução de
é
ou
. Intersectando com
(e lembrando
) obtemos toda a metade
. Ou seja
(Em particular
satisfaz a desigualdade: checando na expressão original dá
, verdadeiro.)
Passo 8
Juntando os trechos obtidos:
- Para
: solução . - Para
: solução . - Para
: solução .
Unindo
. Portanto a solução total da inequação é
Podemos checar alguns pontos para ganhar confiança:
-
(pertence ao primeiro intervalo): a desigualdade vale. -
(entre e ): a desigualdade não vale. -
(maior que ): a desigualdade vale.
Resposta
a) A passagem
é válida somente se
(caso contrário a desigualdade inverteria ao multiplicar por
); a passagem
é válida somente se
(pois só então
). Assim ambas são corretas simultaneamente apenas para
; fora disso há erro.
b)