Ao resolver a inequação
\frac{\sqrt{(x-2)^{2}}+2}{x-1}<x+1
uma pessoa apresentou o seguinte desenvolvimento:
\begin{aligned} \frac{\sqrt{(x-2)^{2}}+2}{x-1} & <x+1 \\\ \sqrt{(x-2)^{2}}+2 & <(x+1)(x-1) \\\ x-2+2 & <x^{2}-1 \\\ x & <x^{2}-1 \\\\ 0 & <x^{2}-x-1 \end{aligned}
Ela concluiu, então, que o conjunto solução é formado por todos os valores de x tais que
x^{2}-x-1>0
a. [0,5] Verifique se há erro nas passagens (1) \Rightarrow(2) e (2) \Rightarrow(3). Justifique sua resposta.
b. [1,5] Resolva corretamente a inequação dada.

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\frac{\sqrt{(x-2)^{2}}+2}{x-1}<x+1,
e pede duas coisas:
  • (a) Verificar se há erro nas passagens (1)\Rightarrow(2) e (2)\Rightarrow(3) do desenvolvimento apresentado e justificar.
  • (b) Resolver corretamente a inequação.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão não está definida em x=1 (denominador zero), portanto x\neq1.
  • A raiz quadrada \sqrt{(x-2)^2} é igual a |x-2|, não a x-2 em geral.
  • Ao multiplicar uma inequação por uma expressão que depende de x (por exemplo x-1), é preciso observar o sinal dessa expressão, pois se for negativa a desigualdade muda de sinal.

Passo 2

Análise da passagem (1)\Rightarrow(2).
A passagem foi
\frac{\sqrt{(x-2)^{2}}+2}{x-1}<x+1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{(x-2)^{2}}+2<(x+1)(x-1).
Isto corresponde a multiplicar ambos os membros por x-1. Essa operação é válida, mas só sem trocar o sentido da desigualdade se o fator multiplicador for positivo. Portanto:
  • Se x-1>0 (ou seja, x>1), a multiplicação por x-1 preserva o sinal e a passagem é correta.
  • Se x-1<0 (ou seja, x<1), ao multiplicar por x-1 a desigualdade deve inverter o sinal; a passagem dada ignora isso e, portanto, é incorreta para x<1.
  • Além disso, x=1 é proibido (não se pode multiplicar por zero).
Conclusão sobre (1)\Rightarrow(2): é correta somente sob a hipótese x>1; para x\le1 a passagem não é válida (e x=1 é excluído do domínio).

Passo 3

Análise da passagem (2)\Rightarrow(3).
A passagem foi
\sqrt{(x-2)^{2}}+2<(x+1)(x-1) \quad\Longrightarrow\quad x-2+2<x^{2}-1,
ou seja, foi feita a substituição \sqrt{(x-2)^{2}}=x-2.
No entanto, a identidade correta é
\sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2|.
A igualdade |x-2|=x-2 vale apenas quando x-2\ge0, i.e. x\ge2. Se x<2 então |x-2|=2-x\neq x-2.
Conclusão sobre (2)\Rightarrow(3): a substituição \sqrt{(x-2)^{2}}=x-2 é correta apenas para x\ge2; para x<2 é incorreta.

Passo 4

Resultado combinado sobre as duas passagens.
  • A passagem (1)\Rightarrow(2) exige x>1.
  • A passagem (2)\Rightarrow(3) exige x\ge2.
Para que ambas as passagens sejam simultaneamente válidas precisamos de x>1 e x\ge2, isto é x\ge2. Portanto o desenvolvimento apresentado é apenas válido se o autor implicitamente assumiu x\ge2. Fora desse caso (por exemplo para x<1 ou para 1<x<2) as passagens contêm erros: ou esquece-se de inverter a desigualdade ao multiplicar por x-1 quando x<1, ou substitui-se |x-2| por x-2 quando x<2.

Passo 5

Resolver a inequação corretamente — primeiro reescrever a raiz em termos de valor absoluto e colocar tudo num único quociente.
Escrevendo \sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2| e levando tudo para o mesmo lado:
\frac{|x-2|+2}{x-1}<x+1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{|x-2|+2-(x+1)(x-1)}{x-1}<0.
Calculando o numerador:
|x-2|+2-(x+1)(x-1)=|x-2|+2-(x^{2}-1)=|x-2|+3-x^{2}.
Denotando
N(x):=|x-2|+3-x^{2},
a inequação equivale a
\frac{N(x)}{x-1}<0, \qquad x\neq1.
Então precisamos estudar o sinal da função racional \dfrac{N(x)}{x-1}. Fazemos separação pelos pontos críticos x=1 (denominador) e x=2 (mudança no valor absoluto).

Passo 6

Expressão de N(x) em cada intervalo.
  • Se x<2, então |x-2|=2-x, logo
N(x)=2-x+3-x^{2}=5-x-x^{2}=-(x^{2}+x-5).
  • Se x\ge2, então |x-2|=x-2, logo
N(x)=x-2+3-x^{2}=x+1-x^{2}=-(x^{2}-x-1).
Determinar as raízes relevantes:
  1. Raízes de x^{2}+x-5=0:
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+20}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.
Denotemos a:=\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2} e b:=\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2}. Numeric: a\approx-2,7913, b\approx1,7913.
  1. Raízes de x^{2}-x-1=0:
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Denotemos r_{1}=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\approx-0,618 e r_{2}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1,618.

Passo 7

Estudo do sinal da fração em cada intervalo.
Intervalos a considerar: (-\infty,1),\\ (1,2),\\ (2,\infty).
  1. Para x<1: o denominador x-1<0. Para que a fração seja <0 é necessário que o numerador seja >0. Como aqui x<1<2 usamos a forma N(x)=5-x-x^{2}. Queremos
5-x-x^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+x-5<0.
A solução dessa desigualdade é a<x<b. Intersectando com x<1
x\in\left(a,1\right),
isto é
x\in\left(\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2},\,1\right).
(fronteiras excluídas porque a inequação é estrita e porque x=1 não pertence ao domínio.)
  1. Para 1<x<2: o denominador x-1>0. Aqui usamos ainda N(x)=5-x-x^{2}. Queremos
\frac{N(x)}{x-1}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad N(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 5-x-x^{2}<0,
ou seja x^{2}+x-5>0. A solução de x^{2}+x-5>0 é x<a ou x>b. Intersecando com (1,2) fica apenas a parte x>b, portanto
x\in\left(b,2\right).
Note que b\approx1{,}7913, então esse intervalo é (1{,}7913\ldots,2).
  1. Para x\ge2: o denominador x-1>0 e agora N(x)=-(x^{2}-x-1). Queremos N(x)<0:
-(x^{2}-x-1)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x-1>0.
A solução de x^{2}-x-1>0 é x<r_{1} ou x>r_{2}. Intersectando com x\ge2 (e lembrando r_{2}\approx1{,}618) obtemos toda a metade x\ge2. Ou seja
x\in[2,\infty).
(Em particular x=2 satisfaz a desigualdade: checando na expressão original dá 2<3, verdadeiro.)

Passo 8

Juntando os trechos obtidos:
  • Para x<1: solução \left(\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2},\,1\right).
  • Para 1<x<2: solução \left(\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2},\,2\right).
  • Para x\ge2: solução [2,\infty).
Unindo \left(\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2},\,2\right)\cup[2,\infty) = \left(\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2},\infty\right). Portanto a solução total da inequação é
\left(\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2},\,1\right)\\ \cup\\ \left(\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2},\,\infty\right).
Podemos checar alguns pontos para ganhar confiança:
  • x=0 (pertence ao primeiro intervalo): a desigualdade vale.
  • x=1{,}5 (entre 1 e b): a desigualdade não vale.
  • x=3 (maior que b): a desigualdade vale.

Resposta

a) A passagem (1)\Rightarrow(2) é válida somente se x>1 (caso contrário a desigualdade inverteria ao multiplicar por x-1); a passagem (2)\Rightarrow(3) é válida somente se x\ge2 (pois só então \sqrt{(x-2)^2}=x-2). Assim ambas são corretas simultaneamente apenas para x\ge2; fora disso há erro.
b) \displaystyle x\in\left(\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2},\,1\right)\\ \cup\\ \left(\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2},\,\infty\right)

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