3-Considerando a associatividade para a multiplicação matricial, considere:
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ll} 4 & 3 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right)
Mostre que : (A B) C=A(B C)

Passo 1

O enunciado dá três matrizes e pede para mostrar que (A B) C = A(B C). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Matrizes fornecidas:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
  • Pedido: provar a igualdade matricial
(AB)C = A(BC).
Observação de compatibilidade de dimensões (apenas listando dados): A é 3\times2, B é 2\times2 e C é 2\times2. Assim tanto (AB)C quanto A(BC) são bem definidas e resultam em uma matriz 3\times2.]

Passo 2

Relembrando a definição de multiplicação de matrizes (aula rápida e prática):
  • Se X é uma matriz m\times n e Y é uma matriz n\times p, então o produto XY é a matriz m\times p cujo elemento na linha i e coluna j é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui X_{ik} é o elemento de X na linha i, coluna k; Y_{kj} é o elemento de Y na linha k, coluna j. Essa fórmula nada mais é do que: cada entrada do produto é a soma das multiplicações dos elementos da linha correspondente de X pelos elementos da coluna correspondente de Y.
Vou aplicar essa definição passo a passo para calcular primeiro AB e BC, e depois (AB)C e A(BC).

Passo 3

Calcular AB usando a fórmula de entradas. Como A é 3\times2 e B é 2\times2, AB será 3\times2. Faço linha a linha.
  • Linha 1 de AB:
    • (AB)_{11}=1\cdot4+2\cdot2=4+4=8.
    • (AB)_{12}=1\cdot3+2\cdot1=3+2=5.
  • Linha 2 de AB:
    • (AB)_{21}=3\cdot4+4\cdot2=12+8=20.
    • (AB)_{22}=3\cdot3+4\cdot1=9+4=13.
  • Linha 3 de AB:
    • (AB)_{31}=0\cdot4+1\cdot2=0+2=2.
    • (AB)_{32}=0\cdot3+1\cdot1=0+1=1.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}8 & 5\\[4pt]20 & 13\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculo (AB)C. A matriz AB é 3\times2 e C é 2\times2, então (AB)C será 3\times2. Novamente, faço entrada a entrada.
  • Linha 1 de (AB)C:
    • ((AB)C)_{11}=8\cdot1+5\cdot2=8+10=18.
    • ((AB)C)_{12}=8\cdot0+5\cdot3=0+15=15.
  • Linha 2 de (AB)C:
    • ((AB)C)_{21}=20\cdot1+13\cdot2=20+26=46.
    • ((AB)C)_{22}=20\cdot0+13\cdot3=0+39=39.
  • Linha 3 de (AB)C:
    • ((AB)C)_{31}=2\cdot1+1\cdot2=2+2=4.
    • ((AB)C)_{32}=2\cdot0+1\cdot3=0+3=3.
Logo
(AB)C=\begin{pmatrix}18 & 15\\[4pt]46 & 39\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculo BC. Como B e C são ambas 2\times2, o produto BC é 2\times2.
  • Linha 1 de BC:
    • (BC)_{11}=4\cdot1+3\cdot2=4+6=10.
    • (BC)_{12}=4\cdot0+3\cdot3=0+9=9.
  • Linha 2 de BC:
    • (BC)_{21}=2\cdot1+1\cdot2=2+2=4.
    • (BC)_{22}=2\cdot0+1\cdot3=0+3=3.
Assim
BC=\begin{pmatrix}10 & 9\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Finalmente calculo A(BC). Aqui A é 3\times2 e BC é 2\times2, então A(BC) é 3\times2. Faço as entradas:
  • Linha 1 de A(BC):
    • (A(BC))_{11}=1\cdot10+2\cdot4=10+8=18.
    • (A(BC))_{12}=1\cdot9+2\cdot3=9+6=15.
  • Linha 2 de A(BC):
    • (A(BC))_{21}=3\cdot10+4\cdot4=30+16=46.
    • (A(BC))_{22}=3\cdot9+4\cdot3=27+12=39.
  • Linha 3 de A(BC):
    • (A(BC))_{31}=0\cdot10+1\cdot4=0+4=4.
    • (A(BC))_{32}=0\cdot9+1\cdot3=0+3=3.
Portanto
A(BC)=\begin{pmatrix}18 & 15\\[4pt]46 & 39\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparando os resultados obtidos nos passos anteriores, vemos que
(AB)C=\begin{pmatrix}18 & 15\\[4pt]46 & 39\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad A(BC)=\begin{pmatrix}18 & 15\\[4pt]46 & 39\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}.
Como as duas matrizes são idênticas, isso prova explicitamente que (AB)C=A(BC) para as matrizes dadas — ou seja, a multiplicação matricial é associativa neste exemplo concreto (e a propriedade geral de associatividade vale para matrizes de dimensão compatível).]

Resposta

(AB)C = A(BC) = \begin{pmatrix}18 & 15\\[4pt]46 & 39\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}]

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