Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
x^{2}-4 y^{2}+6 x+24 y-31=0

Passo 1

Enunciado e o que se pede (dados extraídos do enunciado):
  • A equação dada é x^{2}-4 y^{2}+6 x+24 y-31=0.
  • Pergunta principal: identificar o subconjunto do plano (que curva é) e fazer o seu gráfico.
  • Se for uma hipérbole, determinar:
    • o centro;
    • os vértices;
    • os focos;
    • os eixos de simetria;
    • as assíntotas.

Passo 2

Escolha do método e intenção (sem resolver ainda):
  • A equação tem termos quadráticos em x e y. Para identificar o tipo de cônica e colocá-la numa forma padrão, a técnica adequada é completar quadrados e reescrever a equação numa forma canónica (padrão) da cônica.
  • Depois de obter a forma padrão, é direto ler centro, a, b, e daí achar vértices, focos e assíntotas.

Passo 3

Preparar a equação para completar quadrados:
  • Organizar termos por variáveis:
x^{2}+6x \;-\;4\bigl(y^{2}-6y\bigr)\;-\;31=0.
  • Aqui escrevi -4y^{2}+24y como -4(y^{2}-6y) para completar quadrado em y facilmente.

Passo 4

Completar quadrados separadamente para x e y:
  • Para x: completar o quadrado de x^{2}+6x.
    • Lembre que completar quadrado: x^{2}+2px=(x+p)^{2}-p^{2}. Aqui 2p=6 então p=3.
    • Logo x^{2}+6x=(x+3)^{2}-3^{2}=(x+3)^{2}-9.
  • Para y: dentro do parêntese y^{2}-6y.
    • Aqui 2q=6 então q=3.
    • Logo y^{2}-6y=(y-3)^{2}-3^{2}=(y-3)^{2}-9.\]

Passo 5

Substituir as expressões completadas de volta na equação e simplificar:
  • Substituindo,
(x+3)^{2}-9 \;-\;4\bigl((y-3)^{2}-9\bigr)\;-\;31=0.
  • Desenvolver os parênteses:
(x+3)^{2}-9 \;-\;4(y-3)^{2}+36\;-\;31=0.
  • Somar os termos constantes -9+36-31 = -4. Então
(x+3)^{2}-4(y-3)^{2}-4=0.

Passo 6

Isolar e obter a forma padrão da hipérbole:
  • Passar o -4 para o outro lado:
(x+3)^{2}-4(y-3)^{2}=4.
  • Dividir ambos os lados por 4 para normalizar:
\frac{(x+3)^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{1}=1.
  • Esta é a forma padrão de uma hipérbole com termo positivo em x: \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 7

Identificar parâmetros e propriedades básicas a partir da forma padrão:
  • Comparando com \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, temos:
    • h=-3, k=3 (centro em (h,k));
    • a^{2}=4 portanto a=2;
    • b^{2}=1 portanto b=1.
  • Para hipérbole horizontal (primeiro termo em x positivo), os vértices ficam em (h\pm a,\,k) e os focos em (h\pm c,\,k), com c definido por
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
  • Calcular c:
c^{2}=4+1=5\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}.

Passo 8

Calcular vértices, focos e eixos de simetria explicitamente:
  • Centro: \text{centro }(h,k)=(-3,\,3).
  • Vértices ( h\pm a, k): V_{1}=(h+a,\,k)=(-3+2,\,3)=(-1,\,3),
V_{2}=(h-a,\,k)=(-3-2,\,3)=(-5,\,3).
  • Focos ( h\pm c, k): F_{1}=\bigl(-3+\sqrt{5},\,3\bigr),\qquad F_{2}=\bigl(-3-\sqrt{5},\,3\bigr).
  • Eixos de simetria:
    • Eixo transverse (eixo que passa pelos vértices): reta horizontal \;y=3.
    • Eixo conjugado (retângulo central, perpendicular ao anterior): reta vertical \;x=-3.

Passo 9

Determinar as assíntotas e explicar a dedução:
  • Para a hipérbole na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, as assíntotas são as retas
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h),
porque, para |x| grande, os termos constantes ficam desprezíveis e a relação entre y e x tende a essas retas.
  • Aqui b/a=\dfrac{1}{2}, h=-3, k=3. Logo as assíntotas são:
y-3=\frac{1}{2}(x+3) \qquad\text{e}\qquad y-3=-\frac{1}{2}(x+3).
  • Opcional: Explicitar na forma explicita:
y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \qquad\text{e}\qquad y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

Passo 10

Instruções rápidas de como traçar o gráfico (para a prova, passo-a-passo):
  1. Marcar o centro (-3,3).
  2. Marcar os vértices (-1,3) e (-5,3) sobre a reta y=3.
  3. Desenhar o retângulo central de semi-eixos a=2 (horizontal) e b=1 (vertical) centrado em (-3,3); os vértices do retângulo são (-1,4),(-1,2),(-5,4),(-5,2).
  4. Ligar as diagonais desse retângulo; essas diagonais são as assíntotas (confirmação visual das retas com inclinação \pm\tfrac{1}{2}).
  5. Desenhar as duas ramas da hipérbole abrindo-se à esquerda e à direita ao redor da reta y=3, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Tipo: hipérbole horizontal \dfrac{(x+3)^{2}}{4}-\dfrac{(y-3)^{2}}{1}=1
Centro: (-3,\,3)
Vértices: (-1,\,3) e (-5,\,3)
Focos: \bigl(-3+\sqrt{5},\,3\bigr) e \bigl(-3-\sqrt{5},\,3\bigr)
Eixos de simetria: y=3 (transverse) e x=-3 (conjugado)
Assíntotas: y-3=\dfrac{1}{2}(x+3) e y-3=-\dfrac{1}{2}(x+3)

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