Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
Passo 1
Enunciado e o que se pede (dados extraídos do enunciado):
- A equação dada é
- Pergunta principal: identificar o subconjunto do plano (que curva é) e fazer o seu gráfico.
- Se for uma hipérbole, determinar:
- o centro;
- os vértices;
- os focos;
- os eixos de simetria;
- as assíntotas.
Passo 2
Escolha do método e intenção (sem resolver ainda):
- A equação tem termos quadráticos em
e . Para identificar o tipo de cônica e colocá-la numa forma padrão, a técnica adequada é completar quadrados e reescrever a equação numa forma canónica (padrão) da cônica. - Depois de obter a forma padrão, é direto ler centro,
, , e daí achar vértices, focos e assíntotas.
Passo 3
Preparar a equação para completar quadrados:
- Organizar termos por variáveis:
- Aqui escrevi
como para completar quadrado em facilmente.
Passo 4
Completar quadrados separadamente para
e
:
- Para
: completar o quadrado de . - Lembre que completar quadrado:
. Aqui então . - Logo
- Lembre que completar quadrado:
- Para
: dentro do parêntese . - Aqui
então . - Logo
- Aqui
Passo 5
Substituir as expressões completadas de volta na equação e simplificar:
- Substituindo,
- Desenvolver os parênteses:
- Somar os termos constantes
. Então
Passo 6
Isolar e obter a forma padrão da hipérbole:
- Passar o
para o outro lado:
- Dividir ambos os lados por
para normalizar:
- Esta é a forma padrão de uma hipérbole com termo positivo em
: .
Passo 7
Identificar parâmetros e propriedades básicas a partir da forma padrão:
- Comparando com
, temos: -
, (centro em ); -
portanto ; -
portanto .
-
- Para hipérbole horizontal (primeiro termo em
positivo), os vértices ficam em e os focos em , com definido por
- Calcular
:
Passo 8
Calcular vértices, focos e eixos de simetria explicitamente:
- Centro:
- Vértices (
):
- Focos (
): - Eixos de simetria:
- Eixo transverse (eixo que passa pelos vértices): reta horizontal
. - Eixo conjugado (retângulo central, perpendicular ao anterior): reta vertical
.
- Eixo transverse (eixo que passa pelos vértices): reta horizontal
Passo 9
Determinar as assíntotas e explicar a dedução:
- Para a hipérbole na forma
, as assíntotas são as retas
porque, para
grande, os termos constantes ficam desprezíveis e a relação entre
e
tende a essas retas.
- Aqui
, , . Logo as assíntotas são:
- Opcional: Explicitar na forma explicita:
Passo 10
Instruções rápidas de como traçar o gráfico (para a prova, passo-a-passo):
- Marcar o centro
. - Marcar os vértices
e sobre a reta . - Desenhar o retângulo central de semi-eixos
(horizontal) e (vertical) centrado em ; os vértices do retângulo são . - Ligar as diagonais desse retângulo; essas diagonais são as assíntotas (confirmação visual das retas com inclinação
). - Desenhar as duas ramas da hipérbole abrindo-se à esquerda e à direita ao redor da reta
, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.
Resposta
Tipo: hipérbole horizontal
Centro:
Vértices:
e
Focos:
e
Eixos de simetria:
(transverse) e
(conjugado)
Assíntotas:
e