Construa, seguindo o roteiro dado, as hipérboles cujas equações são x^{2}-4 y^{2}=4,9 x^{2}-y^{2}=9 e x^{2}-y^{2}=1. (Atenção com os valores de a e b.)

Passo 1

O enunciado dá três equações de curvas e pede que se construam as hipérboles correspondentes. As equações são:
x^{2}-4y^{2}=4, \qquad 9x^{2}-y^{2}=9, \qquad x^{2}-y^{2}=1.
O que se deve obter para cada uma: centro, valores de a e b (atenção! a e b são comprimentos positivos, derivados dos denominadores na forma canônica), vértices, focos (calcular c com a fórmula apropriada) e assimptotas. A construção prática costuma seguir estes passos: escrever na forma canônica com o lado direito igual a 1, identificar a^{2} e b^{2}, calcular a=\sqrt{a^{2}}, b=\sqrt{b^{2}}, c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, achar vértices (\pm a,0) e focos (\pm c,0) e escrever as assimptotas y=\pm\frac{b}{a}x. Vou aplicar tudo isso passo a passo para cada equação.

Passo 2

Relembrando e explicando as fórmulas importantes (mini-aula curta e prática):
  • A forma canônica de uma hipérbole com ramos abertos na direção do eixo x é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Nessa forma:
  • a^{2} é o número sob x^{2} (denominador quando colocamos o lado direito igual a 1);
  • b^{2} é o número sob y^{2};
  • a e b são as raízes quadradas positivas de a^{2} e b^{2};
  • os vértices estão em (\pm a,0) (pois a hipérbole abre ao longo do eixo x);
  • os focos estão em (\pm c,0), onde
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
  • as assimptotas são as retas
y=\pm\frac{b}{a}x.
Explicação curta do porquê de c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}: para a hipérbole a relação entre a,b,c vem da definição geométrica envolvendo distância focal (é análoga à elipse, mas com soma/subtração trocada), e resulta em c^{2}=a^{2}+b^{2}. Para desenhar: desenha-se um retângulo centrado na origem com semieixos a e b; as diagonais desse retângulo têm equações das assimptotas; as curvas passam pelos vértices e se aproximam das assimptotas.

Passo 3

Aplicando o método ao primeiro caso \;x^{2}-4y^{2}=4.
Primeiro passo técnico: colocar o membro direito igual a 1. Divida ambos os lados por 4:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{4y^{2}}{4}=1 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{1}=1.
Daqui, identifique:
a^{2}=4,\qquad b^{2}=1.
Calcule a e b:
a=\sqrt{4}=2,\qquad b=\sqrt{1}=1.
Calcule c usando c^{2}=a^{2}+b^{2}:
c^{2}=4+1=5\qquad\Rightarrow\qquad c=\sqrt{5}.
Vértices e focos:
\text{vértices: }(\pm a,0)=(\pm 2,0), \qquad \text{focos: }(\pm c,0)=\bigl(\pm\sqrt{5},0\bigr).é
Assimptotas (usar y=\pm\frac{b}{a}x):
y=\pm\frac{1}{2}x.
Instrução de construção gráfica (como desenhar na prova): marcar o centro (0,0), marcar os vértices em (2,0) e (-2,0); desenhar o retângulo com cantos (\pm 2,\pm 1); traçar as diagonais do retângulo que são y=\pm\frac{1}{2}x; esboçar os ramos da hipérbole passando pelos vértices e aproximando-se das assimptotas.

Passo 4

Aplicando ao segundo caso \;9x^{2}-y^{2}=9.
Colocar forma canônica dividindo por 9:
\frac{9x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{9}=1.
Daqui,
a^{2}=1,\qquad b^{2}=9.
Atenção: muitas pessoas trocam a e b aqui — é importante ver que o termo positivo está com x^{2}, então a^{2} é o denominador sob x^{2}, isto é 1. Calcule a e b:
a=\sqrt{1}=1,\qquad b=\sqrt{9}=3.
Calcule c:
c^{2}=a^{2}+b^{2}=1+9=10 \qquad\Rightarrow\qquad c=\sqrt{10}.
Vértices e focos:
\text{vértices: }(\pm a,0)=(\pm 1,0), \qquad \text{focos: }(\pm c,0)=\bigl(\pm\sqrt{10},0\bigr).é
Assimptotas:
y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{3}{1}x=\pm 3x.
Instrução de construção: marcar vértices (\pm1,0); desenhar retângulo com cantos (\pm1,\pm3); diagonais do retângulo são y=\pm 3x; esboçar ramos passando pelos vértices e aproximando-se das assimptotas.
Observação importante (atenção com a e b): se em vez de dividir corretamente por 9 alguém dividisse errado poderia achar a^{2}=9 e b^{2}=1, o que mudaria completamente a inclinação das assimptotas. Por isso sempre normalize para o lado direito igual a 1 antes de identificar a^{2} e b^{2}.

Passo 5

Aplicando ao terceiro caso \;x^{2}-y^{2}=1.
A equação já está na forma canônica:
\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{1}=1.
Então
a^{2}=1,\qquad b^{2}=1.
Calcule a,b,c:
a=\sqrt{1}=1,\qquad b=\sqrt{1}=1, \qquad c^{2}=a^{2}+b^{2}=1+1=2\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{2}.
Vértices e focos:
\text{vértices: }(\pm 1,0), \qquad \text{focos: }(\pm\sqrt{2},0).é
Assimptotas:
y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{1}{1}x=\pm x.
Construção: retângulo com cantos (\pm1,\pm1); diagonais são y=\pm x; esboçar ramos passando por (\pm1,0) e aproximando-se de y=\pm x.

Passo 6

Resumo prático de como desenhar qualquer uma dessas no caderno da prova (passos que dá para seguir em poucos minutos):
  1. Colocar a equação na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 (dividir pelo número à direita).
  2. Ler a^{2} e b^{2}, tomar a=\sqrt{a^{2}}, b=\sqrt{b^{2}} (sempre positivos).
  3. Calcular c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} para os focos.
  4. Marcar o centro (0,0) e os vértices (\pm a,0).
  5. Desenhar o retângulo com cantos (\pm a,\pm b) e traçar suas diagonais — são as assimptotas y=\pm\frac{b}{a}x.
  6. Esboçar os dois ramos da hipérbole começando nos vértices e aproximando-se das assimptotas.

Resposta

Para x^{2}-4y^{2}=4: centro (0,0); a=2, b=1, c=\sqrt{5}; vértices (\pm 2,0); focos (\pm\sqrt{5},0); assimptotas y=\pm\frac{1}{2}x.
Para 9x^{2}-y^{2}=9: centro (0,0); a=1, b=3, c=\sqrt{10}; vértices (\pm 1,0); focos (\pm\sqrt{10},0); assimptotas y=\pm 3x.
Para x^{2}-y^{2}=1: centro (0,0); a=1, b=1, c=\sqrt{2}; vértices (\pm 1,0); focos (\pm\sqrt{2},0); assimptotas y=\pm x.

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