Construa, seguindo o roteiro dado, as hipérboles cujas equações são
e
. (Atenção com os valores de
e
.)
Passo 1
O enunciado dá três equações de curvas e pede que se construam as hipérboles correspondentes. As equações são:
O que se deve obter para cada uma: centro, valores de
e
(atenção!
e
são comprimentos positivos, derivados dos denominadores na forma canônica), vértices, focos (calcular
com a fórmula apropriada) e assimptotas. A construção prática costuma seguir estes passos: escrever na forma canônica com o lado direito igual a
, identificar
e
, calcular
,
,
, achar vértices
e focos
e escrever as assimptotas
. Vou aplicar tudo isso passo a passo para cada equação.
Passo 2
Relembrando e explicando as fórmulas importantes (mini-aula curta e prática):
- A forma canônica de uma hipérbole com ramos abertos na direção do eixo
é
Nessa forma:
-
é o número sob (denominador quando colocamos o lado direito igual a ); -
é o número sob ; -
e são as raízes quadradas positivas de e ; - os vértices estão em
(pois a hipérbole abre ao longo do eixo ); - os focos estão em
, onde
- as assimptotas são as retas
Explicação curta do porquê de
: para a hipérbole a relação entre
vem da definição geométrica envolvendo distância focal (é análoga à elipse, mas com soma/subtração trocada), e resulta em
. Para desenhar: desenha-se um retângulo centrado na origem com semieixos
e
; as diagonais desse retângulo têm equações das assimptotas; as curvas passam pelos vértices e se aproximam das assimptotas.
Passo 3
Aplicando o método ao primeiro caso
.
Primeiro passo técnico: colocar o membro direito igual a
. Divida ambos os lados por
:
Daqui, identifique:
Calcule
e
:
Calcule
usando
:
Vértices e focos:
Assimptotas (usar
):
Instrução de construção gráfica (como desenhar na prova): marcar o centro
, marcar os vértices em
e
; desenhar o retângulo com cantos
; traçar as diagonais do retângulo que são
; esboçar os ramos da hipérbole passando pelos vértices e aproximando-se das assimptotas.
Passo 4
Aplicando ao segundo caso
.
Colocar forma canônica dividindo por
:
Daqui,
Atenção: muitas pessoas trocam
e
aqui — é importante ver que o termo positivo está com
, então
é o denominador sob
, isto é
. Calcule
e
:
Calcule
:
Vértices e focos:
Assimptotas:
Instrução de construção: marcar vértices
; desenhar retângulo com cantos
; diagonais do retângulo são
; esboçar ramos passando pelos vértices e aproximando-se das assimptotas.
Observação importante (atenção com
e
): se em vez de dividir corretamente por
alguém dividisse errado poderia achar
e
, o que mudaria completamente a inclinação das assimptotas. Por isso sempre normalize para o lado direito igual a
antes de identificar
e
.
Passo 5
Aplicando ao terceiro caso
.
A equação já está na forma canônica:
Então
Calcule
:
Vértices e focos:
Assimptotas:
Construção: retângulo com cantos
; diagonais são
; esboçar ramos passando por
e aproximando-se de
.
Passo 6
Resumo prático de como desenhar qualquer uma dessas no caderno da prova (passos que dá para seguir em poucos minutos):
- Colocar a equação na forma
(dividir pelo número à direita). - Ler
e , tomar , (sempre positivos). - Calcular
para os focos. - Marcar o centro
e os vértices . - Desenhar o retângulo com cantos
e traçar suas diagonais — são as assimptotas . - Esboçar os dois ramos da hipérbole começando nos vértices e aproximando-se das assimptotas.
Resposta
Para
: centro
;
,
,
; vértices
; focos
; assimptotas
.
Para
: centro
;
,
,
; vértices
; focos
; assimptotas
.
Para
: centro
;
,
,
; vértices
; focos
; assimptotas
.