(2,5) Considerando o átomo de hidrogênio, responda as seguintes questões:
a. Organize os orbitais atômicos de acordo com os números quânticos ( n , I e ml) possíveis de existir quando n=0, n=1, n=2 e n=3 em ordem crescente de energia;
b. Calcule o comprimento de onda da transição eletrônica entre os níveis com n=5 e n=1 em um átomo de hidrogênio

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados foram dados. O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Organizar os orbitais atômicos de acordo com os números quânticos (n,\ell,m_\ell) possivelmente existentes quando (n=0,\; n=1,\; n=2,\; n=3) em ordem crescente de energia.
  • (b) Calcular o comprimento de onda da transição eletrônica entre os níveis com (n=5) e (n=1) no átomo de hidrogênio.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Foram fornecidos os valores de (n): (0,1,2,3).
  • A tarefa (a) exige listar combinações possíveis de (n,\ell,m_\ell) e organizá‑las por energia crescente.
  • A tarefa (b) exige o comprimento de onda da transição entre (n=5) e (n=1).
Observação importante (extraída do enunciado): o valor (n=0) aparece na lista, mas o número quântico principal (n) para estados ligados do átomo de hidrogênio tem que ser inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots). Portanto não existem orbitais físicos associados a (n=0). Vou seguir com essa correção: não há orbitais para (n=0).

Passo 2

Explicando os números quânticos e como gerar as combinações (n,\ell,m_\ell) (a “aula rápida” que precisa para entender a montagem):
  • O número quântico principal (n) determina o nível de energia principal e pode assumir valores inteiros positivos: n=1,2,3,\dots.
  • O número quântico azimutal (ou orbital) \ell determina a forma do orbital e tem valores inteiros que vão de 0 até n-1: \ell \in \{0,1,2,\dots,n-1\}.Para lembrar: \ell=0 chama‑se orbital s, \ell=1 chama‑se p, \ell=2 chama‑se d, \ell=3 chama‑se f, etc.
  • O número quântico magnético m_\ell determina a orientação do orbital e assume valores inteiros entre -\ell e +\ell: m_\ell \in \{-\ell,-\ell+1,\dots,0,\dots,\ell-1,\ell\}.
  • Observação prática: para cada par (n,\ell) existem 2\ell+1 valores possíveis de m_\ell.
  • Observação sobre energia (importante para a ordenação): no átomo de hidrogênio (nível coulombiano isolado), a energia ligada depende apenas de n (não depende de \ell nem de m_\ell). A fórmula da energia (valores de referência) é E_n = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}.Assim todos os orbitais com o mesmo n têm a mesma energia (são degenerados). Isso facilita: ordenar por energia equivale a ordenar por n.

Passo 3

Vou calcular os valores de energia dos níveis (n=1,2,3) para ver a ordem (isso serve para justificar a ordem crescente de energia):
E_1 = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{1^2} = -13{,}6\\ \text{eV}, \qquad E_2 = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{2^2} = -\frac{13{,}6}{4}\\ \text{eV} = -3{,}4\\ \text{eV},
E_3 = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{3^2} = -\frac{13{,}6}{9}\\ \text{eV}\approx -1{,}511\\ \text{eV}.
Como -13{,}6\\ \text{eV} < -3{,}4\\ \text{eV} < -1{,}511\\ \text{eV}, a ordem crescente de energia (do mais baixo para o mais alto) é: todos os orbitais com n=1 (mais baixo), depois todos com n=2, depois todos com n=3.

Passo 4

Agora vou listar explicitamente todas as combinações (n,\ell,m_\ell) possíveis para cada n pedido, lembrando que não existem estados para n=0.
Para (n=1):
  • \ell pode assumir apenas \ell=0.
  • Para \ell=0, m_\ell=0.
  • Portanto o único orbital é: (1,0,0)\quad\text{(orbital }1s\text{).}

Passo 5

Para (n=2):
  • Possibilidades para \ell: \ell=0 e \ell=1.
  • Se \ell=0: m_\ell=0 → orbital (2,0,0) (2s).
  • Se \ell=1: m_\ell\in\{-1,0,1\} → orbitais (2,1,-1),\;(2,1,0),\;(2,1,1) (três orbitais 2p).
  • Resumindo: (2,0,0);\quad (2,1,-1),\;(2,1,0),\;(2,1,1).

Passo 6

Para (n=3):
  • Possibilidades para \ell: \ell=0,1,2.
  • \ell=0: m_\ell=0 (3,0,0) (3s).
  • \ell=1: m_\ell\in\{-1,0,1\} (3,1,-1),\;(3,1,0),\;(3,1,1) (3p).
  • \ell=2: m_\ell\in\{-2,-1,0,1,2\} (3,2,-2),\;(3,2,-1),\;(3,2,0),\;(3,2,1),\;(3,2,2) (5 orbitais 3d).
  • Resumindo: (3,0,0);\quad (3,1,-1),\;(3,1,0),\;(3,1,1);\quad (3,2,-2),\;(3,2,-1),\;(3,2,0),\;(3,2,1),\;(3,2,2).

Passo 7

Organização final em ordem crescente de energia (lembrando: todos os orbitais com mesmo n têm a mesma energia no átomo de hidrogênio), e observação sobre n=0:
  • Para (n=0): não existem orbitais (o valor n=0 não é permitido).
  • Em ordem crescente de energia (do mais baixo para o mais alto):
    1. Todos os orbitais com n=1: (1,0,0).
    2. Depois todos os orbitais com n=2: (2,0,0),\;(2,1,-1),\;(2,1,0),\;(2,1,1).
    3. Depois todos os orbitais com n=3: (3,0,0),\;(3,1,-1),\;(3,1,0),\;(3,1,1),\;(3,2,-2),\;(3,2,-1),\;(3,2,0),\;(3,2,1),\;(3,2,2).

Passo 8

Agora resolvo a parte (b): calcular o comprimento de onda da transição entre n=5 e n=1. Vou usar a fórmula de Rydberg, que é prática e direta para o hidrogênio:
\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),
onde \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido (ou absorvido), R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio ( R_H\approx 1{,}097373\times10^{7}\\ \text{m}^{-1}), n_i e n_f são, respectivamente, os números quânticos iniciais e finais. Para emissão de n=5 para n=1 temos n_i=5 e n_f=1. Assim:
\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{5^2}\right) = R_H\left(1-\frac{1}{25}\right)=R_H\cdot\frac{24}{25}=0{,}96\,R_H.

Passo 9

Cálculo numérico do comprimento de onda:
\frac{1}{\lambda} = 0{,}96\times\left(1{,}097373\times10^{7}\\ \text{m}^{-1}\right) \approx 1{,}053418\times10^{7}\\ \text{m}^{-1}.
Invertendo:
\lambda = \frac{1}{1{,}053418\times10^{7}}\\ \text{m} \approx 9{,}492\times10^{-8}\\ \text{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \text{m}):
\lambda \approx 94{,}9\\ \text{nm}.
Esse comprimento de onda está na região ultravioleta (UV) do espectro.

Resposta

a. Não existem orbitais para n=0. Em ordem crescente de energia (do mais baixo para o mais alto):
(1,0,0);
(2,0,0),\; (2,1,-1),\; (2,1,0),\; (2,1,1);
(3,0,0),\; (3,1,-1),\; (3,1,0),\; (3,1,1),\; (3,2,-2),\; (3,2,-1),\; (3,2,0),\; (3,2,1),\; (3,2,2).
b. \lambda \approx 9,492\times10^{-8}\\ \text{m} \approx 94,9\\ \text{nm}.

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