Considerando
, sendo
, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para
grandes e pequenos.
Passo 1
Beleza, vamos estudar a estabilidade em malha fechada de um sistema com função de transferência no laço aberto
L(s)=K·G(s)=K·1/[(s+10)(s+5)]
Isso é Controle Clássico – mais exatamente, realimentação unitária e critério de Nyquist.
O que precisamos saber:
L(s)=K·G(s)=K·1/[(s+10)(s+5)]
Isso é Controle Clássico – mais exatamente, realimentação unitária e critério de Nyquist.
O que precisamos saber:
- Quantos pólos de L(s) têm parte real positiva §.
- Quantas voltas (“encirclements”) a curva de Nyquist de L(jω) faz ao redor de –1 (N).
- A regra é Z=N+P, onde Z é número de pólos em malha fechada no semiplano direito. Se Z=0, tá tudo estável.
Passo 2
Mapeando o plantão: G(s)=1/[(s+10)(s+5)] tem pólos em s=–10 e s=–5, ou seja, P=0 (nenhum pólo em Re(s)>0).
Logo, para estabilidade a gente precisa de N=0 (nenhuma volta em –1).
Logo, para estabilidade a gente precisa de N=0 (nenhuma volta em –1).
Teoria rápida: a curva de Nyquist é o traçado de L(jω) para ω de 0 até ∞ (e o “espelho” para completar o contorno). Se a gente nunca envolver o ponto –1, então N=0.
Passo 3
Vamos olhar a forma de G(jω):
G(jω)=1/[(jω+10)(jω+5)] = (50–ω² – j15ω) / [(50–ω²)²+(15ω)²]
G(jω)=1/[(jω+10)(jω+5)] = (50–ω² – j15ω) / [(50–ω²)²+(15ω)²]
- Em ω=0, G(j0)=1/(10·5)=0.02 (positivo pequeno)
- Para ω→∞, |G(jω)| → 0 (vai pro zero)
- A part real de G(jω) muda de positiva pra negativa quando 50–ω²=0 ⇒ ω=√50≈7.07.
– Mas aí a parte imaginária de G é ≠0, então não há cruzamento em um valor real puro a –1/K - Em nenhum ponto esse traçado atinge Re{L(jω)}=–1 ou envolve o ponto –1 ao redor.
Quando a gente multiplica por K>0, a curva só “cresce” ou “encolhe” mas preserva a forma: ela ainda começa em 0.02K>0 e retorna a 0, passando pelo “lado esquerdo” muito pequenino sem encerrar –1.
Logo, para qualquer K>0, N=0.
Passo 4
Aplicando o critério: Z = N + P = 0 + 0 = 0 ⇒ não há pólos em malha fechada no semiplano direito.
Resposta
O sistema em malha fechada é estável para todo K>0, tanto para ganhos pequenos quanto para ganhos grandes.