Esboce o diagrama de Bode para os sistemas abaixo.
Passo 1
Então, o exercício manda “esboçar o diagrama de Bode” do sistema
Conteúdo: diagramas de Bode de sistemas lineares, uso de escalas logarítmicas, decibéis e fases.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Decompor
em fatores (pólo na origem + par de pólos complexos). - Saber que cada pólo dá queda de
,dB/década acima da frequência de canto, e fase de . - Para o par de pólos de 2ª ordem, usar a forma padrão
e aplicar as retas-asseíntota de magnitude e fase.
Passo 2
Fatorando
:
– Pólo na origem: fator
.
– Pólos de 2ª ordem: .
Para entender esse segundo, comparo com
– Pólos de 2ª ordem:
Para entender esse segundo, comparo com
Logo
,rad/s
e
e
Teoria que vamos usar:
- Magnitude em dB:
. - Cada pólo simples em
gera reta-asa:
– Para: 0 dB/década.
– Para: ,dB/década. - Pólo na origem (
): desde já cai a ,dB/década e mantém fase . - Pólos de 2ª ordem com
: começam a mudar de inclinação em torno de , soma de dois “-20” → ,dB/década acima de . A fase vai de até , centrada em .
Passo 3
Montando o diagrama de magnitude (reta-asseíntota):
- Antes de
(logo acima de 0): só o pólo na origem conta → inclinação ,dB/déc. - Em
rad/s aparece o par de pólos → a inclinação muda em mais ,dB/déc, somando ,dB/déc para . - Valores típicos:
- Em
:
,dB. - Em
:
,dB. - Logo depois de 1,rad/s, a reta cai a
,dB/década.
- Em
Além disso, o par de pólos pode provocar um pico de ressonância pequeno quando
. Aqui
, então dá um “bump” de uns
a
,dB em torno de
.
Passo 4
Diagrama de fase (reta-asseíntota):
- Pólo na origem: fase fixa
para todo . - Par de 2ª ordem:
– Começa compara .
– Atingeem .
– Vai apara .
– A transição “linear” (na escala log) ocorre entree rad/s (uma década antes e depois de ). - Soma total da fase:
– Em: (origem) + (par) ≈ .
– Em: + = .
– Em: + = .
Resposta
Diagrama de Bode assintótico de
:
Magnitude:
Magnitude:
- Slope
,dB/déc até . - Em
, pico de ~ a ,dB (ressonância leve). - Para
, slope total ,dB/déc.
Fase:
- Começa em ~
a . - Passa por
em . - Vai a
para .