Considerando
, sendo
, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para
grandes e pequenos.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente estudar a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária de
usando o critério de Nyquist, onde o controlador é
Conteúdo:» critério de Nyquist (encerramento de contornos no plano de Nyquist, relação entre polos em RHP do sistema aberto e laços de realimentação).
O que vamos precisar:
1) Saber quantos polos de estão no semiplano direito (RHP).
2) Traçar ou analisar o Nyquist de para ver se, ao multiplicar por
, o contorno envolve o ponto
no plano complexo.
3) Determinar o ganho crítico onde aparece a primeira volta em torno de
.
Conteúdo:» critério de Nyquist (encerramento de contornos no plano de Nyquist, relação entre polos em RHP do sistema aberto e laços de realimentação).
O que vamos precisar:
1) Saber quantos polos de
2) Traçar ou analisar o Nyquist de
3) Determinar o ganho crítico
Passo 2
Primeiro: os polos de malha aberta de
são
, todos em LHP. Logo o número de polos em RHP é
Pelo critério de Nyquist, a malha fechada fica estável se o número de voltas no sentido horário que
Ou seja, pra estabilidade a curva de Nyquist não pode envolver
.
Passo 3
A gente acha primeiro onde o Nyquist cruza o eixo real (i.e.
).
Escrevendo
Escrevendo
com, após multiplicar:
Então
Desprezando
Passo 4
Em
,
Logo
Esse ponto atinge exatamente
quando
Para
, a curva de Nyquist fica “à direita” de
e não faz voltas ao redor dele (
).
Para , o ponto de cruzamento ultrapassa
e gera um contorno no sentido horário (
), levando à instabilidade.
Para
Resposta
• Para
pequeno (ou seja,
), o sistema em malha fechada é estável.
• Para grande (
), o sistema fica instável.
• Para