Considerando C(s)=K, sendo K>0, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para K grandes e pequenos.
G(s)=1(s+1)(s+2)(s+4)

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente estudar a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária de
G(s)=1(s+1)(s+2)(s+4)
usando o critério de Nyquist, onde o controlador é C(s)=K;(K>0)
Conteúdo:» critério de Nyquist (encerramento de contornos no plano de Nyquist, relação entre polos em RHP do sistema aberto e laços de realimentação).
O que vamos precisar:
1) Saber quantos polos de L(s)=K,G(s) estão no semiplano direito (RHP).
2) Traçar ou analisar o Nyquist de G(jomega) para ver se, ao multiplicar por K, o contorno envolve o ponto -1 no plano complexo.
3) Determinar o ganho crítico Krm cr onde aparece a primeira volta em torno de -1.

Passo 2

Primeiro: os polos de malha aberta de L(s)=K,G(s) são (s+1),(s+2),(s+4), todos em LHP. Logo o número de polos em RHP é
P=0
Pelo critério de Nyquist, a malha fechada fica estável se o número de voltas no sentido horário que L(jomega) faz ao redor de -1 for
N= -P = 0
Ou seja, pra estabilidade a curva de Nyquist não pode envolver -1.

Passo 3

A gente acha primeiro onde o Nyquist cruza o eixo real (i.e. ImL(jomega)=0).
Escrevendo
G(jomega)=1(jomega+1)(jomega+2)(jomega+4)=A(omega)-j,B(omega)A(omega)^2+B(omega)^2,
com, após multiplicar:
A(omega)=8-7omega^2, B(omega)=omega,(14-omega^2)
Então ImG(jomega)= -B(omega)/l(A^2+B^2r)=0iff B(omega)=0.
Desprezando omega=0 (início do Nyquist), vem
14-omega^2=0;Rightarrow;omega=raiz14approx3,74,

Passo 4

Em omega=raiz14,
A=-90, B=0 Longrightarrow Gl(jraiz14r)=-90(-90)^2=-190
Logo
Ll(jraiz14r)=K,Gl(jraiz14r)=-K90
Esse ponto atinge exatamente -1 quando
-K90=-1Rightarrow Krm cr=90
Para K<90, a curva de Nyquist fica “à direita” de -1 e não faz voltas ao redor dele ( N=0).
Para K>90, o ponto de cruzamento ultrapassa -1 e gera um contorno no sentido horário ( N=1), levando à instabilidade.

Resposta

• Para K pequeno (ou seja, 0), o sistema em malha fechada é estável.
• Para K grande ( K>90), o sistema fica instável.

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