Considere um sistema com dinâmica descrita pela seguinte função de transferência:
Utilizando o diagrama de Bode, projete um controlador de modo que a operação em malha fechada atenda os requisitos
a)
;
b)
c)
.
Sugestão: determine o diagrama de Bode utilizando o software de sua preferência.
a)
b)
c)
Sugestão: determine o diagrama de Bode utilizando o software de sua preferência.
Passo 1
Então, o enunciado diz: temos um sistema com
e queremos projetar um controlador via diagrama de Bode tal que, em malha fechada, o sistema atenda:
a) sobresinal ;
b) tempo de pico s;
c) constante de erro de velocidade .
O conteúdo aqui é Projeto de Controladores por Bode (compensador de avanço) e erro em regime permanente. Vamos precisar da relação entre e fator de amortecimento
, da fórmula de
em função de
, da geometria do diagrama de Bode (fase e ganho), e da definição de
.
a) sobresinal
b) tempo de pico
c) constante de erro de velocidade
O conteúdo aqui é Projeto de Controladores por Bode (compensador de avanço) e erro em regime permanente. Vamos precisar da relação entre
Passo 2
Primeiro traduzimos as specs em parâmetros de projeto:
- Sobresinal
⇒ fator de amortecimento
- Tempo de pico
s ⇒
- A margem de fase desejada (aprox.) é
e adicionamos uns
de folga ⇒
.
Passo 3
Agora calculamos o ganho necessário para
.
Por definição,
Por definição,
Antes de compensar,
tem um integrador, então
Seja
um compensador com ganho estático
; então
Passo 4
Vamos ver a margem de fase sem compensador (com
). Pelo Bode de
:
- No cruzamento de ganho (cerca de
), o ângulo de é
logo a margem de fase é só
, bem abaixo dos
que precisamos.
Logo, vamos inserir um compensador de avanço (phase‐lead) para ganhar uns + folga ≈
.
Logo, vamos inserir um compensador de avanço (phase‐lead) para ganhar uns
Passo 5
Projeto do compensador de avanço:
- Definimos
. - Calculamos
- Escolhemos
rad/s, então
- O compensador de avanço fica
Passo 6
Verificações finais (esboço de Bode):
- O ganho estático de
é , mantendo . - Se quisermos exatamente
, bastaria substituir em vez de (porque e ). - Aí o compensador final fica
No Bode, isso leva o cruzamento de ganho para perto de
rad/s e aumenta a margem de fase para algo em torno de
.
Resposta
O controlador projetado é um compensador de avanço dado por
que garante
,
s e
.