Considere um sistema com dinâmica descrita pela seguinte função de transferência:
G(s)=1s(s+8)(s+30)
Utilizando o diagrama de Bode, projete um controlador de modo que a operação em malha fechada atenda os requisitos
a) MS=10%;
b) tp=0,6 s ;
c) Kv=10.
Sugestão: determine o diagrama de Bode utilizando o software de sua preferência.

Passo 1

Então, o enunciado diz: temos um sistema com
G(s)=1s,(s+8),(s+30)
e queremos projetar um controlador via diagrama de Bode tal que, em malha fechada, o sistema atenda:
a) sobresinal ;
b) tempo de pico s;
c) constante de erro de velocidade .
O conteúdo aqui é Projeto de Controladores por Bode (compensador de avanço) e erro em regime permanente. Vamos precisar da relação entre e fator de amortecimento , da fórmula de em função de , da geometria do diagrama de Bode (fase e ganho), e da definição de .

Passo 2

Primeiro traduzimos as specs em parâmetros de projeto:
  1. Sobresinal zeta = -ln(0,1)raizpi^2 + (ln 0,1)^2approx0,59 ⇒ fator de amortecimento
omegan = pi0,6,raiz1-0,59^2approx6,5 rad/s
  1. Tempo de pico varphimapprox arccos(zeta)approx53^circ s ⇒
  1. A margem de fase desejada (aprox.) é
e adicionamos uns de folga ⇒ .

Passo 3

Agora calculamos o ganho necessário para Kv=limsto0 s,C(s),G(s) .
Por definição,
limsto0s,G(s)=18cdot30=1240
Antes de compensar, Kv = K;1240stackrel!=10 Longrightarrow K=2400 tem um integrador, então
Seja um compensador com ganho estático ; então

Passo 4

Vamos ver a margem de fase sem compensador (com phiGapprox -90^circ -arctan6,58-arctan6,530 approx -141^circ, ). Pelo Bode de :
  • No cruzamento de ganho (cerca de ), o ângulo de é
logo a margem de fase é só , bem abaixo dos que precisamos.
Logo, vamos inserir um compensador de avanço (phase‐lead) para ganhar uns + folga ≈ .

Passo 5

Projeto do compensador de avanço:
  1. Definimos alpha = 1-sinvarphimax1+sinvarphimax approx1-0,4231+0,423approx0,40 .
  2. Calculamos
tau = 1omegamraizalpha approx16,5raiz0,4 approx0,25 s
  1. Escolhemos Crm <=ad(s)=K;tau s+1alpha,tau s+1 =2400;0,25,s+10,10,s+1 rad/s, então
  1. O compensador de avanço fica

Passo 6

Verificações finais (esboço de Bode):
  • O ganho estático de C(s)=900;0,25,s+10,10,s+1 é , mantendo .
  • Se quisermos exatamente , bastaria substituir em vez de (porque e ).
  • Aí o compensador final fica
No Bode, isso leva o cruzamento de ganho para perto de rad/s e aumenta a margem de fase para algo em torno de .

Resposta

O controlador projetado é um compensador de avanço dado por
boxedC(s)=900,0,25,s + 10,10,s + 1,
que garante , s e .

Exercícios relacionados