Considerando
, sendo
, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para
grandes e pequenos.
Passo 1
Beleza, vamos estudar a estabilidade em malha fechada (realimentação unitária) de
L(s) = C(s)·G(s) = K · (s+1)/((s+2)(s+3)), K>0
usando o critério de Nyquist.
Conteúdo envolvido: resposta em frequência, locus de Nyquist, número de encirclements (N), polos de L(s) em RHP § e polos de malha fechada em RHP (Z) via fórmula Z = N + P.
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: resposta em frequência, locus de Nyquist, número de encirclements (N), polos de L(s) em RHP § e polos de malha fechada em RHP (Z) via fórmula Z = N + P.
O que vamos precisar:
- Identificar P = número de polos de L(s) com Re(s)>0.
- Analisar o traçado de Nyquist de L(jω) para ω de 0 a ∞ e ver quantas voltas são dadas ao redor de –1/K.
- Concluir Z e decidir sobre estabilidade (Z=0 → estável).
Passo 2
Primeiro, os polos de L(s): estão em s=–2 e s=–3 (vindos de G(s)); C(s)=K não adiciona polos.
Logo P = 0 (nenhum polo em RHP).
Logo P = 0 (nenhum polo em RHP).
Segundo, o critério de Nyquist nos diz:
Z = N + P,
onde
• N = número de voltas do traçado de L(jω) em torno do ponto –1 (no plano L) seguindo a orientação positiva.
• Z = número de polos de malha fechada em RHP.
Z = N + P,
onde
• N = número de voltas do traçado de L(jω) em torno do ponto –1 (no plano L) seguindo a orientação positiva.
• Z = número de polos de malha fechada em RHP.
Para estabilidade em malha fechada queremos Z = 0 → N = 0 (pois P = 0).
Passo 3
Vamos ver onde o traçado de L(jω) fica no plano complexo.
L(jω) = K·(jω +1)/((jω+2)(jω+3)).
Estuda-se primeiro a parte real de (jω+1)/((jω+2)(jω+3)), pois K>0 só escala o traçado, não muda seu formato.
L(jω) = K·(jω +1)/((jω+2)(jω+3)).
Estuda-se primeiro a parte real de (jω+1)/((jω+2)(jω+3)), pois K>0 só escala o traçado, não muda seu formato.
Denomínio: (jω+2)(jω+3) = (2 + jω)(3 + jω) = (6 – ω²) + j·5ω.
Numerador: jω + 1 = 1 + jω.
Numerador: jω + 1 = 1 + jω.
Então
Re{(jω+1)/((jω+2)(jω+3))}
= [1·(6–ω²) + ω·5ω] / [ (6–ω²)² + (5ω)² ]
= (6 – ω² + 5ω²) / [ (6–ω²)² + 25ω² ]
= (6 +4ω²) / [ (6–ω²)² +25ω² ]
Re{(jω+1)/((jω+2)(jω+3))}
= [1·(6–ω²) + ω·5ω] / [ (6–ω²)² + (5ω)² ]
= (6 – ω² + 5ω²) / [ (6–ω²)² + 25ω² ]
= (6 +4ω²) / [ (6–ω²)² +25ω² ]
Note que para todo ω real o numerador 6+4ω² > 0 e o denominador também é sempre positivo.
Logo Re{L(jω)/K} > 0 ∀ ω.
Logo Re{L(jω)/K} > 0 ∀ ω.
Isso significa que o traçado de L(jω) fica sempre no semiplano direito (Re > 0).
Passo 4
Se o Nyquist de L(jω) nunca chega ao semiplano esquerdo, especialmente nunca envolve o ponto –1, então N = 0 (nenhuma volta em torno de –1).
Como P = 0 e N = 0 → Z = N + P = 0.
Como P = 0 e N = 0 → Z = N + P = 0.
Passo 5
Z = 0 quer dizer que não há polos de malha fechada em RHP → sistema estável.
Isso vale para qualquer valor positivo de K: se aumentar muito K ou deixar bem pequeno, a forma do traçado só muda de escala, mas continua inteiramente em Re>0 e sem envolver –1.
Isso vale para qualquer valor positivo de K: se aumentar muito K ou deixar bem pequeno, a forma do traçado só muda de escala, mas continua inteiramente em Re>0 e sem envolver –1.
Resposta
O sistema em malha fechada é estável para todo K>0, tanto para K pequeno quanto para K grande.