Considerando , sendo , estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para grandes e pequenos.
Passo 1
Então, o exercício diz: temos um sistema em malha fechada com realimentação unitária, onde o controlador é simplesmente (constante positiva) e a planta é
A tarefa é estudar a estabilidade em malha fechada usando o critério de Nyquist, analisando o que acontece quando é pequeno e quando é grande.
Conteúdo: Teoria de Controle – critério de Nyquist para estabilidade de sistemas com realimentação unitária. Vamos precisar:
Contar quantos polos em RHP o laço aberto tem §.
Ver como o diagrama de Nyquist de encena o ponto (número de voltas ).
Usar a fórmula , onde é o nº de polos em RHP do sistema em malha fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos de :
Dos dois, o único que fica no semiplano direito é . O pólo em está no eixo imaginário, mas não conta como “em RHP” para nosso .
Logo:
Passo 3
O critério de Nyquist diz que, para sistema em malha fechada com realimentação unitária,
será estável (nenhum polo em RHP no laço fechado) se o número de encirclements que o diagrama de Nyquist de faz em torno do ponto for
E então a gente tem
onde é o número de polos em RHP do sistema em malha fechada. Para ser estável, queremos .
Passo 4
Vamos pensar no diagrama de Nyquist de
À medida que , (porque tem um polo em zero) e o ângulo se aproxima de +90° (do polo em 0) mais 180° (do polo em 5), totalizando algo como +270° (equivale a -90°).
Quando , e o ângulo vai para -90° (de cada polo), somando -180°.
O shape genérico já mostra que o Nyquist não “fecha” um laço em torno de nem para pequeno nem para grande – o que muda é só a escala, mas a curva nunca envolve o ponto .
Dessa forma observamos:
Passo 5
Usando Z = 0 + 1 = 1 :
Ou seja, sempre sobra 1 polo em RHP na malha fechada, independentemente do valor de .
Resposta
O sistema em malha fechada é sempre instável para qualquer , tanto para pequeno quanto para grande.