Considerando C(s)=K, sendo K>0, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para K grandes e pequenos.
G(s)=1s(s-5)

Passo 1

Então, o exercício diz: temos um sistema em malha fechada com realimentação unitária, onde o controlador é simplesmente G(s)=1s,(s-5), (constante positiva) e a planta é
A tarefa é estudar a estabilidade em malha fechada usando o critério de Nyquist, analisando o que acontece quando é pequeno e quando é grande.
Conteúdo: Teoria de Controle – critério de Nyquist para estabilidade de sistemas com realimentação unitária. Vamos precisar:
  1. Contar quantos polos em RHP o laço aberto tem §.
  2. Ver como o diagrama de Nyquist de encena o ponto (número de voltas ).
  3. Usar a fórmula , onde é o nº de polos em RHP do sistema em malha fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos de G(s)=1s(s-5)Longrightarrowpolos em s=0 e s=5 :
P = hboxnúmero de polos no RHP de G(s) = 1
Dos dois, o único que fica no semiplano direito é . O pólo em está no eixo imaginário, mas não conta como “em RHP” para nosso .
Logo:
ú

Passo 3

O critério de Nyquist diz que, para sistema em malha fechada com realimentação unitária,
1 + K,G(s) = 0
será estável (nenhum polo em RHP no laço fechado) se o número de encirclements N = -P que o diagrama de Nyquist de Z = N + P, faz em torno do ponto for
E então a gente tem
onde é o número de polos em RHP do sistema em malha fechada. Para ser estável, queremos .

Passo 4

Vamos pensar no diagrama de Nyquist de
L(jomega) = K,G(jomega) ;=; Kjomega,(jomega-5)
  • À medida que N = 0(nenhuma vo, (porque tem um polo em zero) e o ângulo se aproxima de +90° (do polo em 0) mais 180° (do polo em 5), totalizando algo como +270° (equivale a -90°).
  • Quando , e o ângulo vai para -90° (de cada polo), somando -180°.
O shape genérico já mostra que o Nyquist não “fecha” um laço em torno de nem para pequeno nem para grande – o que muda é só a escala, mas a curva nunca envolve o ponto .
Dessa forma observamos:

Passo 5

Usando Z = 0 + 1 = 1 :
Ou seja, sempre sobra 1 polo em RHP na malha fechada, independentemente do valor de .

Resposta

O sistema em malha fechada é sempre instável para qualquer , tanto para pequeno quanto para grande.

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