Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes.
\min 16 x_{1}-x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2} em X_{0}=\binom{3}{0}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o ponto X_{0} satisfaz as condições de otimalidade de primeira ordem para o problema irrestrito
\min \; 16x_{1}-x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}
no ponto
X_{0}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
A função objetivo é f(x_{1},x_{2})=16x_{1}-x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}.
O ponto a testar é X_{0}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O problema é irrestrito (sem restrições), então a condição de primeira ordem que devemos checar é a do gradiente nulo no ponto.]
Passo 2
Explicando a condição de primeira ordem (aula rápida, sem pular etapas):
Para um problema de minimização irrestrito, um ponto x^{*} ser candidato a mínimo local exige, necessariamente, que o gradiente da função no ponto seja o vetor nulo:
O gradiente é o vetor das derivadas parciais; cada componente diz a taxa de variação da função na direção de uma coordenada. Se o gradiente não for zero, existe uma direção em que a função decresce (ou cresce), logo o ponto não pode ser um mínimo local.
Portanto nosso passo prático: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} e \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}, formar \nabla f e avaliar em X_{0}.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de forma detalhada (cada termo separado):
A função é f(x_{1},x_{2})=16x_{1}-x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}.
Derivada parcial em relação a x_{1}:
\dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(16x_{1})=16 porque a derivada de ax_{1} em relação a x_{1} é a.
\dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(-x_{1}x_{2})=-x_{2} porque aqui x_{2} é tratado como constante e a derivada de -x_{1}\cdot(\text{const}) é -(\text{const}).
\dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(2x_{2}^{2})=0 porque essa parcela não depende de x_{1}.
Somando:
Conclusão prática e intuitiva: como o gradiente não é zero, existe uma direção de descida (por exemplo -\nabla f(3,0)) em que a função diminui. Logo X_{0} não pode ser um ponto estacionário nem um mínimo local; a condição de primeira ordem não é satisfeita.]