Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes.
  • \min 16 x_{1}-x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2} em X_{0}=\binom{3}{0}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto X_{0} satisfaz as condições de otimalidade de primeira ordem para o problema irrestrito
\min \; 16x_{1}-x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}
no ponto
X_{0}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função objetivo é f(x_{1},x_{2})=16x_{1}-x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}.
  • O ponto a testar é X_{0}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • O problema é irrestrito (sem restrições), então a condição de primeira ordem que devemos checar é a do gradiente nulo no ponto.]

Passo 2

Explicando a condição de primeira ordem (aula rápida, sem pular etapas):
  • Para um problema de minimização irrestrito, um ponto x^{*} ser candidato a mínimo local exige, necessariamente, que o gradiente da função no ponto seja o vetor nulo:
\nabla f(x^{*})=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(x^{*})\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(x^{*})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais; cada componente diz a taxa de variação da função na direção de uma coordenada. Se o gradiente não for zero, existe uma direção em que a função decresce (ou cresce), logo o ponto não pode ser um mínimo local.
  • Portanto nosso passo prático: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} e \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}, formar \nabla f e avaliar em X_{0}.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de forma detalhada (cada termo separado):
A função é f(x_{1},x_{2})=16x_{1}-x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}.
  • Derivada parcial em relação a x_{1}:
    • \dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(16x_{1})=16 porque a derivada de ax_{1} em relação a x_{1} é a.
    • \dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(-x_{1}x_{2})=-x_{2} porque aqui x_{2} é tratado como constante e a derivada de -x_{1}\cdot(\text{const}) é -(\text{const}).
    • \dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(2x_{2}^{2})=0 porque essa parcela não depende de x_{1}.
      Somando:
    \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=16 - x_{2}.
  • Derivada parcial em relação a x_{2}:
    • \dfrac{\partial}{\partial x_{2}}(16x_{1})=0 porque não depende de x_{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial x_{2}}(-x_{1}x_{2})=-x_{1} porque x_{1} é constante aqui.
    • \dfrac{\partial}{\partial x_{2}}(2x_{2}^{2})=4x_{2} porque a derivada de kx_{2}^{2} é 2kx_{2} e aqui k=2, então 2\cdot2x_{2}=4x_{2}.
      Somando:
    \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=-x_{1}+4x_{2}.

Passo 4

Formar o gradiente com as componentes calculadas:
\nabla f(x_{1},x_{2})=\begin{pmatrix}16-x_{2}\\[6pt]-x_{1}+4x_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto X_{0}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}:
  • Substituindo x_{1}=3 e x_{2}=0, \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(3,0)=16-0=16,
\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(3,0)=-3+4\cdot 0=-3.
Portanto
\nabla f(3,0)=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretando o resultado:
  • A condição de primeira ordem exige \nabla f(3,0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Encontramos \nabla f(3,0)=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-3\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Conclusão prática e intuitiva: como o gradiente não é zero, existe uma direção de descida (por exemplo -\nabla f(3,0)) em que a função diminui. Logo X_{0} não pode ser um ponto estacionário nem um mínimo local; a condição de primeira ordem não é satisfeita.]

Resposta

Não: \nabla f(3,0)=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-3\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

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