Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes.
\min x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}-6 x_{1}-8 x_{2} em X_{0}=\binom{8}{-10}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o ponto X_0 satisfaz as condições de otimalidade de primeira ordem para o problema irrestrito
A função objetivo é f(x_1,x_2)=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}-6x_{1}-8x_{2}.
O ponto a testar é X_0=\begin{pmatrix}8\\\ -10\end{pmatrix}.
A pergunta é: X_0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem?
Passo 2
O que são as condições de otimalidade de primeira ordem (para um problema irrestrito)?
Para uma função f diferenciável em \mathbb{R}^n, um ponto x^* ser candidato a extremo (mínimo ou máximo) obrigatoriamente satisfaz a condição de ponto estacionário:
\nabla f(x^*)=\mathbf{0},
ou seja, o gradiente de f no ponto deve ser o vetor nulo.
O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais; para n=2,
Explicação intuitiva: cada componente do gradiente é a taxa de variação de f quando variamos uma coordenada mantendo a outra fixa. Para não existir direção de descida linear, essas taxas devem ser zero.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f passo a passo:
Visto que \nabla f(8,-10)=\mathbf{0}, o ponto X_0 satisfaz a condição necessária de otimalidade de primeira ordem (é um ponto estacionário).
Observação útil para a prova: isso é apenas condição necessária; para afirmar se é mínimo, máximo ou sela-se precisa analisar a segunda derivada (Hessiana). Mas como a pergunta pede só a condição de primeira ordem, a verificação está concluída.