Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes.
  • \min x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}-6 x_{1}-8 x_{2} em X_{0}=\binom{8}{-10}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto X_0 satisfaz as condições de otimalidade de primeira ordem para o problema irrestrito
\min f(x_1,x_2),\quad\text{onde}\quad f(x_1,x_2)=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}-6x_{1}-8x_{2},
no ponto
X_0=\begin{pmatrix}8\\\ -10\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A função objetivo é f(x_1,x_2)=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}-6x_{1}-8x_{2}.
  • O ponto a testar é X_0=\begin{pmatrix}8\\\ -10\end{pmatrix}.
  • A pergunta é: X_0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem?

Passo 2

O que são as condições de otimalidade de primeira ordem (para um problema irrestrito)?
  • Para uma função f diferenciável em \mathbb{R}^n, um ponto x^* ser candidato a extremo (mínimo ou máximo) obrigatoriamente satisfaz a condição de ponto estacionário:
\nabla f(x^*)=\mathbf{0},
ou seja, o gradiente de f no ponto deve ser o vetor nulo.
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais; para n=2,
\nabla f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_1}\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial x_2}\end{pmatrix}.
Explicação intuitiva: cada componente do gradiente é a taxa de variação de f quando variamos uma coordenada mantendo a outra fixa. Para não existir direção de descida linear, essas taxas devem ser zero.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f passo a passo:
  • Derivada parcial em relação a x_1:
    • \dfrac{\partial}{\partial x_1}\big(x_1^2\big)=2x_1.
    • \dfrac{\partial}{\partial x_1}\big(x_1x_2\big)=x_2 (pois x_2 é tratado como constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial x_1}\big(-6x_1\big)=-6.
    • \dfrac{\partial}{\partial x_1}\big(-8x_2\big)=0 (pois não depende de x_1).
      Logo,
    \dfrac{\partial f}{\partial x_1}=2x_1+x_2-6.
  • Derivada parcial em relação a x_2:
    • \dfrac{\partial}{\partial x_2}\big(x_1^2\big)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial x_2}\big(x_1x_2\big)=x_1.
    • \dfrac{\partial}{\partial x_2}\big(-6x_1\big)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial x_2}\big(-8x_2\big)=-8.
      Logo,
    \dfrac{\partial f}{\partial x_2}=x_1-8.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}2x_1+x_2-6\\[6pt]x_1-8\end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliar o gradiente em X_0=\begin{pmatrix}8\\\ -10\end{pmatrix}:
  • Componente 1:
2x_1+x_2-6 \Big|_{(8,-10)} = 2\cdot 8 + (-10) -6 = 16-10-6 = 0.
  • Componente 2:
x_1-8 \Big|_{(8,-10)} = 8-8 = 0.
Logo
\nabla f(8,-10)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Conclusão sobre a condição de primeira ordem:
  • Visto que \nabla f(8,-10)=\mathbf{0}, o ponto X_0 satisfaz a condição necessária de otimalidade de primeira ordem (é um ponto estacionário).
  • Observação útil para a prova: isso é apenas condição necessária; para afirmar se é mínimo, máximo ou sela-se precisa analisar a segunda derivada (Hessiana). Mas como a pergunta pede só a condição de primeira ordem, a verificação está concluída.

Resposta

Sim

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