Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes.
\max 10 x_{1}^{2}+12 \ln \left(x_{2}\right) em X_{0}=\binom{1}{2}
Passo 1
O enunciado dá a função objetivo e o ponto em que devemos verificar a condição:
em X_{0}=\binom{1}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
O ponto considerado é X_{0}=(1,2).
A função envolve \ln(x_{2}), portanto o domínio natural exige x_{2}>0. O ponto X_{0} satisfaz isso (2>0).
A pergunta é: X_{0} verifica as condições de otimalidade de primeira ordem? (ou seja, se é um ponto estacionário segundo a condição de primeira ordem para um problema irrestrito)
Passo 2
O que significa “condições de otimalidade de primeira ordem” para um problema irrestrito e diferenciável? Vou explicar devagar e com carinho:
Para um problema irrestrito (sem restrições) e uma função f diferenciável, uma condição necessária para que um ponto interior seja um máximo (ou mínimo) é que o gradiente de f nesse ponto seja o vetor nulo.
Intuição: o gradiente \nabla f(x) aponta na direção de maior crescimento de f. Se em X_{0} tivéssemos um máximo interior, não deveria existir nenhuma direção em que f aumente — portanto a derivada direcional em qualquer direção deve ser zero. Isso só acontece quando \nabla f(X_{0})=\mathbf{0}.
Conclusão prática: para verificar a condição de primeira ordem aqui basta calcular \nabla f(x) e avaliar em X_{0}. Se \nabla f(X_{0})=\mathbf{0}, a condição é satisfeita; se não, não é satisfeita.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (passo a passo, sem pular):
A função é f(x)=10x_{1}^{2}+12\ln\!\big(x_{2}\big).
Derivada parcial em relação a x_{1}: a regra é \dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(a x_{1}^{2})=2a x_{1}. Aqui a=10, então
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x)=20x_{1}.
Derivada parcial em relação a x_{2}: a regra é \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}. Multiplicando pelo coeficiente 12,
Interpretar o resultado em termos da condição de primeira ordem:
A condição necessária para um máximo interior é \nabla f(X_{0})=\mathbf{0}.
Aqui \nabla f(X_{0})=\begin{pmatrix}20\\\ 6\end{pmatrix}\neq\mathbf{0}. Portanto a condição de primeira ordem não é satisfeita.
Para ver de maneira prática que isso faz sentido: a direção do gradiente é direção de aumento. Se tomarmos a própria direção d=\nabla f(X_{0}), a derivada direcional é
D f(X_{0})[d]=\nabla f(X_{0})^{T} d=\|\nabla f(X_{0})\|^{2}=20^{2}+6^{2}=436>0,
ou seja, existe uma direção para a qual o valor de f aumenta saindo de X_{0}. Logo X_{0} não pode ser um máximo interior nem satisfaz a condição necessária de primeira ordem.
Resposta
Não — \nabla f(X_{0})=\begin{pmatrix}20\\\ 6\end{pmatrix}\neq\mathbf{0}.