Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes.
  • \max 10 x_{1}^{2}+12 \ln \left(x_{2}\right) em X_{0}=\binom{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função objetivo e o ponto em que devemos verificar a condição:
\text{max } f(x)=10x_{1}^{2}+12\ln\!\big(x_{2}\big)
em X_{0}=\binom{1}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O ponto considerado é X_{0}=(1,2).
  • A função envolve \ln(x_{2}), portanto o domínio natural exige x_{2}>0. O ponto X_{0} satisfaz isso ( 2>0).
  • A pergunta é: X_{0} verifica as condições de otimalidade de primeira ordem? (ou seja, se é um ponto estacionário segundo a condição de primeira ordem para um problema irrestrito)

Passo 2

O que significa “condições de otimalidade de primeira ordem” para um problema irrestrito e diferenciável? Vou explicar devagar e com carinho:
  • Para um problema irrestrito (sem restrições) e uma função f diferenciável, uma condição necessária para que um ponto interior seja um máximo (ou mínimo) é que o gradiente de f nesse ponto seja o vetor nulo.
  • Intuição: o gradiente \nabla f(x) aponta na direção de maior crescimento de f. Se em X_{0} tivéssemos um máximo interior, não deveria existir nenhuma direção em que f aumente — portanto a derivada direcional em qualquer direção deve ser zero. Isso só acontece quando \nabla f(X_{0})=\mathbf{0}.
  • Conclusão prática: para verificar a condição de primeira ordem aqui basta calcular \nabla f(x) e avaliar em X_{0}. Se \nabla f(X_{0})=\mathbf{0}, a condição é satisfeita; se não, não é satisfeita.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (passo a passo, sem pular):
  • A função é f(x)=10x_{1}^{2}+12\ln\!\big(x_{2}\big).
  • Derivada parcial em relação a x_{1}: a regra é \dfrac{\partial}{\partial x_{1}}(a x_{1}^{2})=2a x_{1}. Aqui a=10, então
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x)=20x_{1}.
  • Derivada parcial em relação a x_{2}: a regra é \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}. Multiplicando pelo coeficiente 12,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x)=12\cdot\frac{1}{x_{2}}=\frac{12}{x_{2}}.
  • Assim o gradiente (vetor de derivadas parciais) é
\nabla f(x)=\begin{pmatrix}20x_{1}\\[4pt]\dfrac{12}{x_{2}}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto X_{0}=(1,2):
  • Substituindo x_{1}=1 na primeira componente: 20x_{1}=20\cdot 1=20.
  • Substituindo x_{2}=2 na segunda componente: \dfrac{12}{x_{2}}=\dfrac{12}{2}=6.
    Logo
\nabla f(X_{0})=\begin{pmatrix}20\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretar o resultado em termos da condição de primeira ordem:
  • A condição necessária para um máximo interior é \nabla f(X_{0})=\mathbf{0}.
  • Aqui \nabla f(X_{0})=\begin{pmatrix}20\\\ 6\end{pmatrix}\neq\mathbf{0}. Portanto a condição de primeira ordem não é satisfeita.
  • Para ver de maneira prática que isso faz sentido: a direção do gradiente é direção de aumento. Se tomarmos a própria direção d=\nabla f(X_{0}), a derivada direcional é
D f(X_{0})[d]=\nabla f(X_{0})^{T} d=\|\nabla f(X_{0})\|^{2}=20^{2}+6^{2}=436>0,
ou seja, existe uma direção para a qual o valor de f aumenta saindo de X_{0}. Logo X_{0} não pode ser um máximo interior nem satisfaz a condição necessária de primeira ordem.

Resposta

Não — \nabla f(X_{0})=\begin{pmatrix}20\\\ 6\end{pmatrix}\neq\mathbf{0}.

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