Considerando cada um dos problemas seguintes irrestrito, indicar se o ponto X0 verifica as condições de otimalidade de primeira ordem para as funções seguintes. Caso as condições não sejam respeitadas, indicar uma direção que melhore o objetivo.
\min x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}-6 x_{1}-8 x_{2} em X_{0}=\binom{8}{-10}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto X_{0} satisfaz as condições de otimalidade de primeira ordem para o problema irrestrito abaixo, e (se não satisfizer) indicar uma direção que melhore o objetivo.
Dados fornecidos:
f(x_1,x_2)=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}-6x_{1}-8x_{2}
X_{0}=\begin{pmatrix}8\\\ -10\end{pmatrix}
Perguntas claras que vamos responder:
  1. O ponto X_{0} verifica as condições de otimalidade de primeira ordem (i.e., é ponto estacionário: \nabla f(X_0)=0)?
  2. Se não verificar, indicar uma direção que diminua f. (Mesmo que verifique, vou mostrar também se é mínimo, máximo ou sela e dar uma direção de melhoria se for sela.)

Passo 2

O que significa a condição de otimalidade de primeira ordem (explicação didática)?
  • Para problemas irrestritos com f diferenciável, uma condição necessária para que X_0 seja um extremo local é que o gradiente de f em X_0 seja o vetor nulo: \nabla f(X_0)=0.
  • O gradiente \nabla f(x) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x)\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x)\end{pmatrix}.
  • Intuição rápida: o gradiente aponta na direção de maior aumento de f; se ele for zero, não existe direção de 1ª ordem que aumente ou diminua a função imediatamente — é um ponto estacionário.]

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f. Vou derivar termo a termo e explicar:
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x_1} temos:
    • \dfrac{\partial}{\partial x_1}(x_1^2)=2x_1,
    • \dfrac{\partial}{\partial x_1}(x_1x_2)=x_2 (tratando x_2 como constante),
    • \dfrac{\partial}{\partial x_1}(-6x_1)=-6,
    • \dfrac{\partial}{\partial x_1}(-8x_2)=0.
      Logo,
\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)=2x_1+x_2-6.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x_2}:
    • \dfrac{\partial}{\partial x_2}(x_1^2)=0,
    • \dfrac{\partial}{\partial x_2}(x_1x_2)=x_1,
    • \dfrac{\partial}{\partial x_2}(-6x_1)=0,
    • \dfrac{\partial}{\partial x_2}(-8x_2)=-8.
      Logo,
\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2)=x_1-8.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}2x_1+x_2-6\\[6pt]x_1-8\end{pmatrix}.]

Passo 4

Avalie o gradiente em X_{0}=\begin{pmatrix}8\\\ -10\end{pmatrix}. Substituindo x_1=8 e x_2=-10:
\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(8,-10)=2\cdot 8+(-10)-6=16-10-6=0,
\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(8,-10)=8-8=0.
Logo
\nabla f(X_0)=\begin{pmatrix}0\\[6pt]0\end{pmatrix}.
Conclusão (parcial e intuitiva): o ponto X_0 satisfaz a condição de primeira ordem (é um ponto estacionário).]

Passo 5

Importante didático: a condição de primeira ordem ( \nabla f=0) é necessária mas não suficiente para garantir mínimo. Para decidir se é mínimo/ máximo/ sela usamos a matriz Hessiana e o teste de segunda ordem.
Calculemos a Hessiana (matriz das segundas derivadas):
  • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}=2,
  • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}=1,
  • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}=1,
  • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}=0.
Assim a Hessiana é a matriz constante
H=\begin{pmatrix}2 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Para testar definitude, calculemos o determinante:
\det(H)=2\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1 < 0.
Como o determinante dos menores principais mostra sinais diferentes (ou seja, \det(H)<0), a Hessiana é indefinida: isto significa que X_0 é um ponto de sela (há direções de curvatura positiva e direções de curvatura negativa).]

Passo 6

Porque a Hessiana é indefinida, existem direções p tais que p^\top H p<0. Como \nabla f(X_0)=0, a expansão de Taylor em X_0 para deslocamento pequeno t p é
f(X_0+tp)=f(X_0)+\tfrac{1}{2}t^{2} p^\top H p + o(t^2).
Se escolhermos p com p^\top H p<0, então para pequenos t\neq 0 teremos f(X_0+tp)<f(X_0): ou seja, uma direção que diminui f.
Vamos achar explicitamente uma direção com curvatura negativa. Experimente p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Calculemos
H p = \begin{pmatrix}2 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot 1 + 1\cdot(-2)\\[4pt]1\cdot 1 + 0\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então
p^\top H p = \begin{pmatrix}1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 = -2 < 0.
Portanto p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} é uma direção de melhoria: para pequenos t temos aproximadamente
f(X_0+tp)\approx f(X_0) + \tfrac{1}{2}t^{2}(-2)=f(X_0)-t^{2},
que diminui f.]

Resposta

Sim, X_{0} satisfaz as condições de otimalidade de primeira ordem ( \nabla f(X_0)=0).\nNo entanto, X_{0} é um ponto de sela (a Hessiana é indefinida). Uma direção que diminui f é p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} (para pequenos t>0, f(X_0+tp)<f(X_0)).]

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