- Encontre os valores máximo e mínimo da função
, sujeita á restrição
.
Resposta: Pontos de mínimo
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo (e os pontos onde ocorrem) da função
sujeita à restrição
.\n
Informações dadas e o que precisamos fornecer:
Informações dadas e o que precisamos fornecer:
- Função objetivo:
.\n - Restrição:
(isto é, pertence ao círculo unitário no plano).\n - Pedido: determinar os pontos
do círculo unitário onde atinge o maior valor (máximo) e o menor valor (mínimo), e os respectivos valores de .
Passo 2
Escolha do método: vamos parametrizar o círculo usando ângulo
. Isso é prático porque a restrição
sugere naturalmente a parametrização trigonométrica clássica. A parametrização é
Explicação curta do porquê: ao parametrizar, reduzimos o problema com restrição a um problema de uma variável
. Em provas isso costuma ser mais rápido e menos propenso a erro do que fazer multiplicadores de Lagrange, e usa ideias básicas de trigonometria que sempre caem bem.
Passo 3
Substituímos a parametrização em
. Definimos a função de uma variável
Agora vamos simplificar
usando uma identidade trigonométrica. A identidade dupla é
Portanto podemos escrever
como
Isso facilita muito: agora
é uma função trigonométrica simples de
.
Passo 4
Encontrar pontos críticos de
. Calculamos a derivada de
em função de
:
Igualamos a zero para achar candidatos a extremos:
Assim
Dentro do intervalo
os valores são
Passo 5
Avaliar
nesses pontos para ver quais dão máximo e quais dão mínimo. Usamos
.
- Para
: , então e
- Para
: , então e
- Para
: , , então
- Para
: , , então
Portanto os maiores valores encontrados são
e os menores são
.
Passo 6
Mapear de volta para os pontos
no círculo:
- Para
: , . Ponto: e (máximo). - Para
: , . Ponto: e (máximo). - Para
: , . Ponto: e (mínimo). - Para
: , . Ponto: e (mínimo).
Justificativa de globalidade: a função
é contínua e a restrição define um conjunto compacto (o círculo fechado e limitado), então extremos locais encontrados são também extremos globais.
Passo 7
Verificação rápida pelo teste da segunda derivada (opcional, só para confirmar): como
e
, avaliando em
obtemos
(máximo) e em
obtemos
(mínimo), consistente com as avaliações anteriores.
Resposta
Pontos de mínimo
e
\n
Pontos de máximo e
Pontos de máximo