1. Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x y, sujeita á restrição x^{2}+y^{2}=1.
Resposta: Pontos de mínimo \Rightarrow\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) e
\text { Pontos de máximo } \Rightarrow\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) e\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)á

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo (e os pontos onde ocorrem) da função f(x,y)=x y sujeita à restrição \,x^{2}+y^{2}=1.\n
Informações dadas e o que precisamos fornecer:
  • Função objetivo: f(x,y)=x y.\n
  • Restrição: \,x^{2}+y^{2}=1 (isto é, (x,y) pertence ao círculo unitário no plano).\n
  • Pedido: determinar os pontos (x,y) do círculo unitário onde f atinge o maior valor (máximo) e o menor valor (mínimo), e os respectivos valores de f.

Passo 2

Escolha do método: vamos parametrizar o círculo usando ângulo t. Isso é prático porque a restrição \,x^{2}+y^{2}=1 sugere naturalmente a parametrização trigonométrica clássica. A parametrização é
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Explicação curta do porquê: ao parametrizar, reduzimos o problema com restrição a um problema de uma variável t. Em provas isso costuma ser mais rápido e menos propenso a erro do que fazer multiplicadores de Lagrange, e usa ideias básicas de trigonometria que sempre caem bem.

Passo 3

Substituímos a parametrização em f. Definimos a função de uma variável
g(t)=f(\cos t,\sin t)=\cos t\sin t.
Agora vamos simplificar g usando uma identidade trigonométrica. A identidade dupla é
\sin(2t)=2\sin t\cos t.
Portanto podemos escrever g como
g(t)=\cos t\sin t=\frac{1}{2}\sin(2t).
Isso facilita muito: agora g é uma função trigonométrica simples de t.

Passo 4

Encontrar pontos críticos de g. Calculamos a derivada de g em função de t:
g'(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\sin(2t)\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\cos(2t)=\cos(2t).
Igualamos a zero para achar candidatos a extremos:
g'(t)=0 \iff \cos(2t)=0 \iff 2t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}.
Assim
t=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}.
Dentro do intervalo [0,2\pi) os valores são
t=\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4},\;\frac{5\pi}{4},\;\frac{7\pi}{4}.

Passo 5

Avaliar g nesses pontos para ver quais dão máximo e quais dão mínimo. Usamos g(t)=\frac{1}{2}\sin(2t).
  • Para t=\frac{\pi}{4}: 2t=\frac{\pi}{2}, então \sin(2t)=1 e
g\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.
  • Para t=\frac{3\pi}{4}: 2t=\frac{3\pi}{2}, então \sin(2t)=-1 e
g\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}.
  • Para t=\frac{5\pi}{4}: 2t=\frac{5\pi}{2}, \sin(2t)=1, então
g\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.
  • Para t=\frac{7\pi}{4}: 2t=\frac{7\pi}{2}, \sin(2t)=-1, então
g\!\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}.
Portanto os maiores valores encontrados são \frac{1}{2} e os menores são -\frac{1}{2}.

Passo 6

Mapear de volta para os pontos (x,y) no círculo:
  • Para t=\frac{\pi}{4}: \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Ponto: \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e f=\frac{1}{2} (máximo).
  • Para t=\frac{5\pi}{4}: \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. Ponto: \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e f=\frac{1}{2} (máximo).
  • Para t=\frac{3\pi}{4}: \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Ponto: \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e f=-\frac{1}{2} (mínimo).
  • Para t=\frac{7\pi}{4}: \cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. Ponto: \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e f=-\frac{1}{2} (mínimo).
Justificativa de globalidade: a função f é contínua e a restrição define um conjunto compacto (o círculo fechado e limitado), então extremos locais encontrados são também extremos globais.

Passo 7

Verificação rápida pelo teste da segunda derivada (opcional, só para confirmar): como g'(t)=\cos(2t) e g''(t)=-2\sin(2t), avaliando em t=\frac{\pi}{4} obtemos g''=-2<0 (máximo) e em t=\frac{3\pi}{4} obtemos g''=2>0 (mínimo), consistente com as avaliações anteriores.

Resposta

Pontos de mínimo \Rightarrow\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\n
Pontos de máximo \Rightarrow\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

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