1. Encontre o valor máximo de f(x, y)=x y, sujeita á restrição x+y=1.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o valor máximo da função f(x,y)=xy sujeito à restrição x+y=1.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar:
  • A função objeto é f(x,y)=xy.
  • A restrição (condição) é x+y=1.
  • Vamos considerar (x,y) no conjunto dos números reais que satisfazem a restrição, ou seja o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=1\}.
  • A pergunta é: qual o maior valor que f(x,y) assume entre todos os pares (x,y) que obedecem x+y=1, e em que ponto isso acontece?

Passo 2

Escolha do método: aqui a restrição é linear e simples ( x+y=1), então é mais direto eliminar uma variável e transformar o problema em uma função de uma única variável. Isso evita usar métodos mais avançados como multiplicadores de Lagrange. Explicando a ideia: se y é dado por 1-x, então substituímos na função e obtemos uma função univariada g(x)=x(1-x); depois maximizamos g. Esse método é simples, rápido e seguro em provas.

Passo 3

Eliminação de variável pela restrição. Da restrição temos
y=1-x.
Substituindo em f obtemos a função em uma variável
g(x)=f(x,1-x)=x(1-x).
Explicando essa etapa: transformar o problema em uma variável significa que agora basta achar o máximo de g(x) para todos os x\in\mathbb{R} (pois cada x define um y pela restrição).

Passo 4

Escrevendo g(x) de forma explícita e observando sua natureza:
g(x)=x(1-x)=x-x^2.
Isto é um polinômio quadrático na forma g(x)=-x^2+x. Qualquer quadrática com coeficiente do x^2 negativo é uma parábola voltada para baixo, portanto tem um único máximo global (o vértice). Vou mostrar duas maneiras para encontrar o vértice: pelo cálculo (derivada) e por completar o quadrado.

Passo 5

Método 1 — usando derivada (conceito rápido): a derivada g'(x) dá a velocidade de variação; pontos extremos ocorrem onde g'(x)=0. Calculamos
g'(x)=\frac{d}{dx}(x-x^2)=1-2x.
Igualando a zero para achar candidatos a extremos:
1-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Para verificar que é máximo usamos a segunda derivada:
g''(x)=\frac{d}{dx}(1-2x)=-2,
que é negativa. Uma segunda derivada negativa indica concavidade para baixo, ou seja o ponto encontrado é um máximo local — e para uma parábola é também o máximo global.

Passo 6

Avaliação do valor máximo e recuperação de y. Como x=\tfrac{1}{2}, pela restrição
y=1-x=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
O valor máximo é
g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
Então o produto máximo vale \tfrac{1}{4} e ocorre no par \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).

Passo 7

Método 2 — completando o quadrado (uma alternativa sem cálculo): podemos reescrever g como
g(x)=x-x^2= -\Big(x^2-x\Big)= -\Big(x^2-x+\tfrac{1}{4}\Big)+\tfrac{1}{4}= -\big(x-\tfrac{1}{2}\big)^2+\tfrac{1}{4}.
Dessa forma fica claro que -\big(x-\tfrac{1}{2}\big)^2 é sempre menor ou igual a 0, então g(x)\le \tfrac{1}{4} para todo x, com igualdade exatamente quando x=\tfrac{1}{2}. Isso confirma que o máximo é \tfrac{1}{4} em x=\tfrac{1}{2} e, pela restrição, y=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Interpretação intuitiva e dica de prova: entre todos os pares (x,y) com soma fixa 1, o produto xy é máximo quando os dois números são iguais. Essa é uma ideia geral: para soma fixa, o produto é maximizado quando os termos são iguais (uma consequência do método de completar o quadrado ou da desigualdade AM-GM quando os números são não negativos). Aqui funcionou mesmo sem restrição de não-negatividade porque a parábola já garante o máximo global.

Resposta

Valor máximo: \tfrac{1}{4} atingido em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).

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