- Encontre o valor máximo de
, sujeita á restrição
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o valor máximo da função
sujeito à restrição
.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar:
Informações dadas e hipóteses que vamos usar:
- A função objeto é
. - A restrição (condição) é
. - Vamos considerar
no conjunto dos números reais que satisfazem a restrição, ou seja o conjunto . - A pergunta é: qual o maior valor que
assume entre todos os pares que obedecem , e em que ponto isso acontece?
Passo 2
Escolha do método: aqui a restrição é linear e simples (
), então é mais direto eliminar uma variável e transformar o problema em uma função de uma única variável. Isso evita usar métodos mais avançados como multiplicadores de Lagrange. Explicando a ideia: se
é dado por
, então substituímos na função e obtemos uma função univariada
; depois maximizamos
. Esse método é simples, rápido e seguro em provas.
Passo 3
Eliminação de variável pela restrição. Da restrição temos
Substituindo em
obtemos a função em uma variável
Explicando essa etapa: transformar o problema em uma variável significa que agora basta achar o máximo de
para todos os
(pois cada
define um
pela restrição).
Passo 4
Escrevendo
de forma explícita e observando sua natureza:
Isto é um polinômio quadrático na forma
. Qualquer quadrática com coeficiente do
negativo é uma parábola voltada para baixo, portanto tem um único máximo global (o vértice). Vou mostrar duas maneiras para encontrar o vértice: pelo cálculo (derivada) e por completar o quadrado.
Passo 5
Método 1 — usando derivada (conceito rápido): a derivada
dá a velocidade de variação; pontos extremos ocorrem onde
. Calculamos
Igualando a zero para achar candidatos a extremos:
Para verificar que é máximo usamos a segunda derivada:
que é negativa. Uma segunda derivada negativa indica concavidade para baixo, ou seja o ponto encontrado é um máximo local — e para uma parábola é também o máximo global.
Passo 6
Avaliação do valor máximo e recuperação de
. Como
, pela restrição
O valor máximo é
Então o produto máximo vale
e ocorre no par
.
Passo 7
Método 2 — completando o quadrado (uma alternativa sem cálculo): podemos reescrever
como
Dessa forma fica claro que
é sempre menor ou igual a
, então
para todo
, com igualdade exatamente quando
. Isso confirma que o máximo é
em
e, pela restrição,
.
Passo 8
Interpretação intuitiva e dica de prova: entre todos os pares
com soma fixa
, o produto
é máximo quando os dois números são iguais. Essa é uma ideia geral: para soma fixa, o produto é maximizado quando os termos são iguais (uma consequência do método de completar o quadrado ou da desigualdade AM-GM quando os números são não negativos). Aqui funcionou mesmo sem restrição de não-negatividade porque a parábola já garante o máximo global.
Resposta
Valor máximo:
atingido em
.