Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que os limites dos exercícios a e b não existem.
\lim _{x \rightarrow+\infty, y \rightarrow 0} \frac{y}{x^{2}-y}

Passo 1

O enunciado (interpretado como pedido) dá a função
f(x,y)=\frac{y}{x^{2}-y}
e pede para mostrar, “considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem”, que o limite em (x,y)\to(0,0) não existe. Informações importantes que temos:
  • A função é dada por \;f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}-y}\;.
  • O ponto para o qual nos aproximamos é a origem (0,0).
  • Para que a expressão faça sentido é preciso evitar pontos onde o denominador é zero, isto é, evitar pontos com x^{2}-y=0.
    O objetivo é provar que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{y}{x^{2}-y} não existe, usando caminhos distintos que chegam à origem.

Passo 2

Explicação do método (aula curta): em limites de funções de duas variáveis, a existência de \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L significa que, independente do jeito como (x,y) se aproxima de (0,0), os valores de f(x,y) ficam cada vez mais próximos do mesmo número L. Para provar que o limite NÃO existe basta encontrar duas curvas (dois caminhos) que tendem a (0,0) e tal que os limites de f ao longo desses caminhos sejam diferentes. Isso já garante que não há um único valor limite comum.

Passo 3

Caminho 1: aproximação pela reta y=0 (eixo x). Substituindo y=0 em f obtemos, para x\neq 0,
f(x,0)=\frac{0}{x^{2}-0}=0.
Ao fazermos x\to 0 (movendo-se ao longo do eixo x até a origem), o valor de f(x,0) permanece 0. Logo o limite de f ao longo desse caminho é
\lim_{x\to 0} f(x,0)=0.

Passo 4

Caminho 2: aproximação pela reta x=0 (eixo y). Substituindo x=0 em f obtemos, para y\neq 0,
f(0,y)=\frac{y}{0-y}=\frac{y}{-y}=-1.
Ao fazermos y\to 0 (movendo-se ao longo do eixo y até a origem), o valor de f(0,y) permanece -1. Logo o limite de f ao longo desse caminho é
\lim_{y\to 0} f(0,y)=-1.
Observação importante: em cada caso o denominador não se anula para os pontos considerados (quando y=0 e x\neq0 temos x^{2}\neq0; quando x=0 e y\neq0 temos -y\neq0), então as substituições são válidas.

Passo 5

Conclusão a partir dos dois caminhos: ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de x=0 o limite é -1. Como 0\neq -1, os limites ao longo de caminhos diferentes que chegam à origem são distintos. Portanto não existe um único valor L que seja limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0).

Passo 6

Complemento pedagógico (opcional, para fixar): experimentando retas do tipo y=kx^{2} com constante k\neq 1, temos
f(x,kx^{2})=\frac{kx^{2}}{x^{2}-kx^{2}}=\frac{k}{1-k},
que é um valor constante (dependente de k). Diferentes k produzem diferentes constantes \dfrac{k}{1-k}, o que reforça que há muitas maneiras de chegar a limites distintos — outro modo de ver que o limite total não existe. (Nota: k=1 não é permitido pois anularia o denominador.)

Resposta

O limite não existe.

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