Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que os limites dos exercícios a e b não existem.
Passo 1
O enunciado (interpretado como pedido) dá a função
e pede para mostrar, “considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem”, que o limite em
não existe. Informações importantes que temos:
- A função é dada por
- O ponto para o qual nos aproximamos é a origem
. - Para que a expressão faça sentido é preciso evitar pontos onde o denominador é zero, isto é, evitar pontos com
.
O objetivo é provar que o limitenão existe, usando caminhos distintos que chegam à origem.
Passo 2
Explicação do método (aula curta): em limites de funções de duas variáveis, a existência de
significa que, independente do jeito como
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos do mesmo número
. Para provar que o limite NÃO existe basta encontrar duas curvas (dois caminhos) que tendem a
e tal que os limites de
ao longo desses caminhos sejam diferentes. Isso já garante que não há um único valor limite comum.
Passo 3
Caminho 1: aproximação pela reta
(eixo
). Substituindo
em
obtemos, para
,
Ao fazermos
(movendo-se ao longo do eixo
até a origem), o valor de
permanece
. Logo o limite de
ao longo desse caminho é
Passo 4
Caminho 2: aproximação pela reta
(eixo
). Substituindo
em
obtemos, para
,
Ao fazermos
(movendo-se ao longo do eixo
até a origem), o valor de
permanece
. Logo o limite de
ao longo desse caminho é
Observação importante: em cada caso o denominador não se anula para os pontos considerados (quando
e
temos
; quando
e
temos
), então as substituições são válidas.
Passo 5
Conclusão a partir dos dois caminhos: ao longo de
o limite é
e ao longo de
o limite é
. Como
, os limites ao longo de caminhos diferentes que chegam à origem são distintos. Portanto não existe um único valor
que seja limite de
quando
.
Passo 6
Complemento pedagógico (opcional, para fixar): experimentando retas do tipo
com constante
, temos
que é um valor constante (dependente de
). Diferentes
produzem diferentes constantes
, o que reforça que há muitas maneiras de chegar a limites distintos — outro modo de ver que o limite total não existe. (Nota:
não é permitido pois anularia o denominador.)
Resposta
O limite não existe.