Encontre os limites nos exercícios a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,3)} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}+1}{x-y-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(4,3)} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}+1}{x-y-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}+1}{x-y-1}.
  • O ponto onde a aproximação ocorre é (x,y)=(4,3).
  • Domínio implícito: \sqrt{x} e \sqrt{y} exigem x\ge 0 e y\ge 0; o ponto (4,3) está no domínio das raízes.

Passo 2

Vamos verificar os valores do numerador e do denominador no ponto (4,3) (isso é uma verificação básica antes de tentar calcular o limite).
Calcule o numerador em (4,3):
\sqrt{4}-\sqrt{3}+1 = 2-\sqrt{3}+1 = 3-\sqrt{3}.
Calcule o denominador em (4,3):
4-3-1 = 0.
Portanto, no ponto de interesse o numerador tende para \,3-\sqrt{3}\, (um número fixo) e o denominador tende para 0.

Passo 3

Explicando um conceito importante (didático): se uma função quociente tem numerador que tende para uma constante não nula e denominador que tende para zero, então o quociente tende a um valor não finito (ficará arbitrariamente grande em módulo) — isto é, a expressão tende a \pm\infty dependendo do sinal do denominador próximo do ponto. Para que o limite fosse um número finito seria necessário que o numerador também tendesse a 0 no mesmo ritmo (ou que houvesse cancelamento). Aqui já vimos que o numerador tende para 3-\sqrt{3}\neq 0, então esperamos comportamento de divergência (não existe limite finito). Resta verificar que a expressão pode tender tanto para +\infty quanto para -\infty quando nos aproximamos de (4,3) por caminhos diferentes — se isso ocorrer, o limite (nem mesmo no sentido estendido) não existe como um valor único.

Passo 4

Mostro caminhos concretos que provam a divergência com sinais opostos.
Considere a família de pontos que aproxima (4,3) mantendo y=3 e variando x. Ou seja, tome x=4+t e y=3 com t\to 0. Substituindo:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}+1}{x-y-1} = \frac{\sqrt{4+t}-\sqrt{3}+1}{(4+t)-3-1} = \frac{\sqrt{4+t}-\sqrt{3}+1}{t}.
Observe que a função g(x)=\sqrt{x} é contínua em x=4, logo
\lim_{t\to 0} \big(\sqrt{4+t}-\sqrt{3}+1\big)=\sqrt{4}-\sqrt{3}+1 = 3-\sqrt{3}.
Defina c:=3-\sqrt{3}. Note que c>0 (porque \sqrt{3}\approx1{,}732, então c\approx1{,}268). Pela continuidade, existe \delta>0 tal que, para 0<|t|<\delta,
\sqrt{4+t}-\sqrt{3}+1 > \frac{c}{2} >0.
Agora, para t>0 suficientemente pequeno temos
\frac{\sqrt{4+t}-\sqrt{3}+1}{t} \ge \frac{c/2}{t}.
Quando t\to 0^+, o lado direito \dfrac{c/2}{t}\to +\infty. Logo, ao aproximar (4,3) por pontos com x>4 e y=3 (isto é, t\to 0^+), a fração tende para +\infty.
Para t<0 e |t| pequeno temos análogo:
\frac{\sqrt{4+t}-\sqrt{3}+1}{t} \le \frac{-\,c/2}{|t|},
pois o numerador permanece maior que c/2>0 e t é negativo, portanto a razão é negativa em módulo grande. Assim, quando t\to 0^- (aproximação com x<4 e y=3), a fração tende para -\infty.
Conclusão desta etapa: existem trajetórias aproximando (4,3) que levam o valor da expressão para +\infty e outras que levam para -\infty. Portanto não há um único valor limite (nem mesmo um limite infinito bem definido).

Passo 5

Interpretando o resultado: como a expressão pode assumir valores arbitrariamente grandes positivos ou arbitrariamente grandes negativos conforme a direção de aproximação, o limite em (4,3) não existe como número finito, e também não existe como limite estendido único (não converge para +\infty nem para -\infty exclusivamente).

Resposta

O limite não existe.

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