Encontre os limites nos exercícios a seguir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função considerada é
. - O ponto onde a aproximação ocorre é
. - Domínio implícito:
e exigem e ; o ponto está no domínio das raízes.
Passo 2
Vamos verificar os valores do numerador e do denominador no ponto
(isso é uma verificação básica antes de tentar calcular o limite).
Calcule o numerador em :
Calcule o numerador em
Calcule o denominador em
:
Portanto, no ponto de interesse o numerador tende para
(um número fixo) e o denominador tende para
.
Passo 3
Explicando um conceito importante (didático): se uma função quociente tem numerador que tende para uma constante não nula e denominador que tende para zero, então o quociente tende a um valor não finito (ficará arbitrariamente grande em módulo) — isto é, a expressão tende a
dependendo do sinal do denominador próximo do ponto. Para que o limite fosse um número finito seria necessário que o numerador também tendesse a
no mesmo ritmo (ou que houvesse cancelamento). Aqui já vimos que o numerador tende para
, então esperamos comportamento de divergência (não existe limite finito). Resta verificar que a expressão pode tender tanto para
quanto para
quando nos aproximamos de
por caminhos diferentes — se isso ocorrer, o limite (nem mesmo no sentido estendido) não existe como um valor único.
Passo 4
Mostro caminhos concretos que provam a divergência com sinais opostos.
Considere a família de pontos que aproxima mantendo
e variando
. Ou seja, tome
e
com
. Substituindo:
Considere a família de pontos que aproxima
Observe que a função
é contínua em
, logo
Defina
. Note que
(porque
, então
). Pela continuidade, existe
tal que, para
,
Agora, para
suficientemente pequeno temos
Quando
, o lado direito
. Logo, ao aproximar
por pontos com
e
(isto é,
), a fração tende para
.
Para
e
pequeno temos análogo:
pois o numerador permanece maior que
e
é negativo, portanto a razão é negativa em módulo grande. Assim, quando
(aproximação com
e
), a fração tende para
.
Conclusão desta etapa: existem trajetórias aproximando
que levam o valor da expressão para
e outras que levam para
. Portanto não há um único valor limite (nem mesmo um limite infinito bem definido).
Passo 5
Interpretando o resultado: como a expressão pode assumir valores arbitrariamente grandes positivos ou arbitrariamente grandes negativos conforme a direção de aproximação, o limite em
não existe como número finito, e também não existe como limite estendido único (não converge para
nem para
exclusivamente).
Resposta
O limite não existe.