Encontre os limites nos exercícios a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas que vamos usar:
- A função é
. - O ponto de aproximação é
. - Não há outras restrições no enunciado (nota: implicitamente precisamos de
para estar definido).
Passo 2
Calcular o limite do numerador separadamente. Usando que funções polinomiais são contínuas (soma e subtração preservam limites), temos
Explicando devagar: ao levar
até
,
vai para
e
vai para
; somando e subtraindo dá
.
Passo 3
Calcular o limite do denominador separadamente. Primeiro lembrar que a função raiz quadrada
é contínua para
; portanto ao aproximar
de
tem-se
. Assim,
Observe que
(de fato
), então o limite do denominador é um número distinto de zero.
Passo 4
Aplicar a regra do limite do quociente: se
e
com
, então
Aqui já calculamos
(numerador) e
(denominador), com
, logo podemos usar essa regra.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Portanto o limite existe e vale
. Força aí — quando o numerador tende a zero e o denominador tende a um número não nulo, o limite é zero; esse é um padrão útil para identificar rápido limites em provas.