Encontre os limites nos exercícios a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,2)} \frac{x+y-4}{\sqrt{x}+y-2}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x+y-4}{\sqrt{x}+y-2}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é \dfrac{x+y-4}{\sqrt{x}+y-2}.
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(2,2).
  • Não há outras restrições no enunciado (nota: implicitamente precisamos de x\ge0 para \sqrt{x} estar definido).

Passo 2

Calcular o limite do numerador separadamente. Usando que funções polinomiais são contínuas (soma e subtração preservam limites), temos
\lim_{(x,y)\to(2,2)} (x+y-4) = \lim_{(x,y)\to(2,2)} x + \lim_{(x,y)\to(2,2)} y - 4 = 2 + 2 - 4 = 0.
Explicando devagar: ao levar (x,y) até (2,2), x vai para 2 e y vai para 2; somando e subtraindo dá 0.

Passo 3

Calcular o limite do denominador separadamente. Primeiro lembrar que a função raiz quadrada \sqrt{x} é contínua para x\ge0; portanto ao aproximar x de 2 tem-se \sqrt{x}\to\sqrt{2}. Assim,
\lim_{(x,y)\to(2,2)} (\sqrt{x}+y-2) = \lim_{(x,y)\to(2,2)} \sqrt{x} + \lim_{(x,y)\to(2,2)} y - 2 = \sqrt{2} + 2 - 2 = \sqrt{2}.
Observe que \sqrt{2}\neq 0 (de fato \sqrt{2}\approx1,414), então o limite do denominador é um número distinto de zero.

Passo 4

Aplicar a regra do limite do quociente: se \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=M com M\neq0, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \frac{L}{M}.
Aqui já calculamos L=0 (numerador) e M=\sqrt{2} (denominador), com M\neq0, logo podemos usar essa regra.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x+y-4}{\sqrt{x}+y-2} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0.
Portanto o limite existe e vale 0. Força aí — quando o numerador tende a zero e o denominador tende a um número não nulo, o limite é zero; esse é um padrão útil para identificar rápido limites em provas.

Resposta

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