Considerando um circuito RLC Paralelo, calcule os valores da impedância (forma polar), das correntes i, i_{R}, i_{L}, i_{C} para os casos abaixo:
v=100 \mathrm{~V} ; R=300 \Omega ; X_{L}=250 \Omega ; X_{C}=500 \Omega

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos.\n
  • O enunciado nos dá a tensão aplicada (phasor) v=100\\ \mathrm{V}. Vamos tomar essa tensão como referência com ângulo zero, ou seja \;V=100\angle 0^\circ.\n
  • Dados dos ramos: R=300\\ \Omega, X_{L}=250\\ \Omega (reatância indutiva) e X_{C}=500\\ \Omega (reatância capacitiva).\n
  • O que pedimos: a impedância equivalente do conjunto em forma polar e as correntes phasoriais \;i,\;i_{R},\;i_{L},\;i_{C}.\n
  • Observação importante sobre notação: impedância do indutor é \;Z_{L}=jX_{L} e do capacitor é \;Z_{C}=-jX_{C}. Em paralelo é mais fácil trabalhar com admitâncias \;Y=1/Z.\n

Passo 2

Transformar impedâncias dos ramos em admitâncias (explicando por que).\n
  • Definição: admitância é o inverso da impedância. Para circuitos em paralelo somam-se as admitâncias das branches.\n
  • Admitância do resistor:
Y_{R}=\frac{1}{R}=\frac{1}{300}=0,0033333\\ \mathrm{S}.
  • Admitância do indutor: \;Z_{L}=jX_{L}=j250. Então
Y_{L}=\frac{1}{Z_{L}}=\frac{1}{j250}=-j\frac{1}{250}=-j0,004\\ \mathrm{S}.
Explicação: \frac{1}{j}=-j, então a componente imaginária é negativa (corrente do indutor fica defasada em relação à tensão).\n
  • Admitância do capacitor: \;Z_{C}=-jX_{C}=-j500. Então
Y_{C}=\frac{1}{Z_{C}}=\frac{1}{-j500}=j\frac{1}{500}=j0,002\\ \mathrm{S}.
Explicação: \frac{1}{-j}=j, por isso a admitância do capacitor é positiva imaginária (corrente do capacitor adianta 90°).

Passo 3

Calcular a admitância total somando as três admitâncias.\n
  • Soma:
Y_{T}=Y_{R}+Y_{L}+Y_{C}=0,0033333 - j0,004 + j0,002.
  • Agrupando reais e imaginárias:
Y_{T}=0,0033333 + j(-0,004+0,002)=0,0033333 - j0,002\\ \mathrm{S}.
Explicação: o termo real é a condutância \;G, o termo imaginário é a susceptância líquida \;B. Aqui G=0,0033333 e B=-0,002.

Passo 4

Converter a admitância total para módulo e ângulo e obter a impedância equivalente (forma polar).\n
  • Módulo da admitância:
|Y_{T}|=\sqrt{(0,0033333)^{2}+(-0,002)^{2}}=\sqrt{0,0000111111+0,000004}=0,0038873\\ \mathrm{S}.
(Se quiser ver exato: |Y_T|=\dfrac{\sqrt{34}}{1500}, mas aqui usamos valor numérico.)\n
  • Ângulo da admitância:
\angle Y_{T}=\arctan\!\left(\dfrac{\operatorname{Im}(Y_T)}{\operatorname{Re}(Y_T)}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-0,002}{0,0033333}\right)=\arctan(-0,6)=-30,9638^\circ.
  • Impedância equivalente é o inverso da admitância. Em módulo e ângulo:
|Z_{eq}|=\frac{1}{|Y_{T}|}=\frac{1}{0,0038873}=257,13\\ \Omega,
\angle Z_{eq}=-\angle Y_{T}=+30,9638^\circ.
Portanto, na forma polar:
Z_{eq}=257,13\angle 30,96^\circ\\ \Omega.
Explicação do porquê do sinal do ângulo: inverter um número complexo inverte o ângulo.

Passo 5

Calcular as correntes em cada ramo (explicando a relação tensão/impedância e as fases).\n
  • Tensão de referência: \;V=100\angle 0^\circ.\n
  • Corrente no resistor:
i_{R}=\frac{V}{R}=\frac{100\angle 0^\circ}{300}=0,33333\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
Explicação: corrente no resistor está em fase com a tensão (ângulo 0^\circ).\n
  • Corrente no indutor:
i_{L}=\frac{V}{jX_{L}}=\frac{100\angle 0^\circ}{j250}=\frac{100}{250}\angle(-90^\circ)=0,4\angle -90^\circ\\ \mathrm{A}.
Explicação: divisão por j equivale a multiplicar por -j, ou seja deslocar fase em -90^\circ (corrente do indutor atrasa 90° em relação à tensão).\n
  • Corrente no capacitor:
i_{C}=\frac{V}{-jX_{C}}=\frac{100\angle 0^\circ}{-j500}=\frac{100}{500}\angle(+90^\circ)=0,2\angle 90^\circ\\ \mathrm{A}.
Explicação: divisão por -j equivale a multiplicar por j, deslocando fase em +90^\circ (corrente do capacitor adianta 90°).

Passo 6

Calcular a corrente total somando fasorialmente as correntes dos ramos (explicar conversão polar→retangular e soma).\n
  • Convertemos cada corrente para forma retangular (parte real + j parte imaginária):\n
i_{R}=0,33333+j0.
i_{L}=0,4\angle -90^\circ=0 - j0,4.
i_{C}=0,2\angle 90^\circ=0 + j0,2.
  • Soma fasorial:
i=i_{R}+i_{L}+i_{C}=(0,33333)+j(0-0,4+0,2)=0,33333 - j0,2\\ \mathrm{A}.
  • Módulo e ângulo da corrente total:
|i|=\sqrt{(0,33333)^{2}+(-0,2)^{2}}=\sqrt{0,111111+0,04}=0,38877\\ \mathrm{A},
\angle i=\arctan\!\left(\dfrac{-0,2}{0,33333}\right)=\arctan(-0,6)=-30,9638^\circ.
  • Verificação rápida (consistência): i=\dfrac{V}{Z_{eq}}=\dfrac{100\angle 0^\circ}{257,13\angle 30,96^\circ}=0,38877\angle -30,96^\circ, bate com a soma das correntes dos ramos.

Resposta

Z_{eq}=257,13\angle 30,96^\circ\\ \Omega\n
i=0,38877\angle -30,96^\circ\\ \mathrm{A}\n
i_{R}=0,33333\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}\n
i_{L}=0,4\angle -90^\circ\\ \mathrm{A}\n
i_{C}=0,2\angle 90^\circ\\ \mathrm{A}

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