Considerando o conjunto dos números naturais e os seguintes predicados:
\mathbf{P}(\mathbf{x}) : x é par;
\mathbf{I}(\mathbf{x}) : x é ímpar;
\begin{aligned} & \mathbf{M a}(\mathbf{x}, \mathbf{y}): \text { x é maior que } y ; & \mathbf{M e}(\mathbf{x}, \mathbf{y}): x \text { é menor que } y ; \end{aligned}éé

Avalie as fórmulas como verdadeiras ou falsas:

\exists \mathrm{x} \forall \mathrm{y}(\mathrm{Me}(\mathrm{x}, \mathrm{y}))

Passo 1

O enunciado trabalha no conjunto dos números naturais \mathbb{N} e define o predicado \mathrm{Me}(x,y) como “ x é menor que y”. A fórmula a avaliar é
\exists x \,\forall y\,\mathrm{Me}(x,y),
isto é, “existe um número natural x que seja menor do que todo natural y”.

Passo 2

Interpretando a fórmula, buscamos um candidato x\in\mathbb{N} tal que, para qualquer y\in\mathbb{N}, tenha-se
x < y.
Em outras palavras, x seria um menor elemento estrito de \mathbb{N}.

Passo 3

Suponha que exista tal x. Então x deve ser menor que si mesmo? Ao tomar y = x, a condição exige
x < x,
mas nunca ocorre x < x em \mathbb{N}. Isso já é suficiente para ver que não há x que satisfaça \forall y\, (x < y).

Passo 4

Para reforçar, mesmo tentando qualquer outro x, teremos sempre o contraexemplo y = x, garantindo que \mathrm{Me}(x,x) é falsa, pois não existe desigualdade estrita de um número consigo mesmo.

Resposta

A fórmula \exists x \,\forall y\,\mathrm{Me}(x,y) é falsa.

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