Considerando o conjunto dos números naturais e os seguintes predicados:
\mathbf{P}(\mathbf{x}) : x é par;
\mathbf{I}(\mathbf{x}) : x é ímpar;
\begin{aligned} & \mathbf{M a}(\mathbf{x}, \mathbf{y}): \text { x é maior que } y ; & \mathbf{M e}(\mathbf{x}, \mathbf{y}): x \text { é menor que } y ; \end{aligned}éé

Avalie as fórmulas como verdadeiras ou falsas:

\forall \mathrm{x} \forall \mathrm{y}(\mathrm{Ma}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \rightarrow \mathrm{Me}(\mathrm{x}, \mathrm{y}))

Passo 1

O enunciado considera o domínio \mathbb{N} e os predicados \mathbf{P}(x): x é par; \mathbf{I}(x): x é ímpar; \mathbf{Ma}(x,y): x é maior que y; \mathbf{Me}(x,y): x é menor que y.
Pede-se avaliar a fórmula
\forall x\forall y\bigl(\mathbf{Ma}(x,y)\rightarrow \mathbf{Me}(x,y)\bigr).
Vamos usar lógica de predicados e a definição de implicação para decidir sua verdade.

Passo 2

Uma fórmula com quantificadores universais \forall x\forall y(A\rightarrow B) só é verdadeira se para todo par (x,y) a implicação A\rightarrow B for verdadeira. Lembrando que uma implicação A\rightarrow B é falsa exatamente quando A é verdadeira e B é falsa.

Passo 3

Para mostrar que a fórmula universal é falsa, basta encontrar um contraexemplo (x,y)\in\mathbb{N}^2 tal que
\mathbf{Ma}(x,y)\text{ é verdadeiro} \quad\text{e}\quad \mathbf{Me}(x,y)\text{ é falso}.éé

Passo 4

Escolhemos x=1 e y=0. Então: \mathbf{Ma}(1,0) é verdadeiro (pois 1>0) \mathbf{Me}(1,0) é falso (pois 1<0 é falso)
Logo a implicação \mathbf{Ma}(1,0)\rightarrow \mathbf{Me}(1,0) é falsa, o que invalida a fórmula universal.

Resposta

Falso.

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