Considerando que a definição da derivada de uma função
, em um ponto
, é dada por:
calcule a derivada,
, pela definição, a partir da função
e do ponto
dados abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde aprendemos como determinar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada pelo limite:
Isso basicamente nos diz como a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
e o ponto
na fórmula. Temos:
Primeiro, calculamos
:
Então, substituindo na definição da derivada:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Podemos fatorar o numerador:
Então, temos:
Perceba que
, então podemos escrever:
Agora, ao calcular o limite quando
se aproxima de 1:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.