Considerando que a definição da derivada de uma função f, em um ponto x0, é dada por:
f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0
calcule a derivada, f^prime(x0), pela definição, a partir da função f e do ponto x0 dados abaixo:
f(x)=x-x^2, x0=1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função f(x) = x - x^2 no ponto x0 = 1 usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde aprendemos como determinar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função f em um ponto x0 é dada pelo limite:
f^prime(x0) = limx to x0 f(x) - f(x0)x - x0
Isso basicamente nos diz como a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função f(x) e o ponto x0 na fórmula. Temos:
f(x) = x - x^2 e x0 = 1
Primeiro, calculamos f(x0) :
f(1) = 1 - (1)^2 = 1 - 1 = 0
Então, substituindo na definição da derivada:
f^prime(1) = limx to 1 (x - x^2) - 0x - 1 = limx to 1 x - x^2x - 1

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Podemos fatorar o numerador:
x - x^2 = x(1 - x)
Então, temos:
f^prime(1) = limx to 1 x(1 - x)x - 1
Perceba que 1 - x = -(x - 1) , então podemos escrever:
f^prime(1) = limx to 1 x(-1)(x - 1)x - 1 = limx to 1 -x
Agora, ao calcular o limite quando x se aproxima de 1:
f^prime(1) = -1

Resposta

A derivada de f(x) = x - x^2 no ponto x0 = 1 é f^prime(1) = -1 .

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