Determine f circ g, g circ f e encontre o domínio:
f(x)=raizx, g(x)=raiz2-x(-infty, 2] [0,4]

Passo 1

Temos f(x)= raizx com domínio [0,∞) e g(x)= raiz2-x com domínio (-∞,2]. A missão é encontrar as funções compostas f∘g e g∘f e também seus domínios. Para isso, vamos usar a definição de composição de funções e as restrições de cada domínio.

Passo 2

Para calcular f∘g, escrevemos f(g(x))= raizg(x). Como g(x)= raiz2-x, temos f(g(x))= raizraiz2-x. Em potência, isso equivale a (2-x)^1/4. Agora, o domínio de f∘g exige que x pertença ao domínio de g (ou seja, 2-x>=0implies x<=2) e que g(x) esteja no domínio de f (ou seja, raiz2-x>=0), mas esta última condição já vale para todo x\le2. Logo o domínio de f∘g é (- ablafty,2].

Passo 3

Para calcular g∘f, escrevemos g(f(x))= raiz2-f(x). Como f(x)= raizx, obtemos g(f(x))= raiz2-raizx. Para o domínio de g∘f precisamos de x no domínio de f (ou seja, x>=0) e de f(x) no domínio de g (ou seja, 2-raizx>=0), que implica raizx<=2 ou x<=4. Combinando x>=0 e x<=4, o domínio é [0,4].

Resposta

As composições são:
f∘g(x)= raizraiz2-x= (2-x)^1/4, com domínio (- ablafty,2].
g∘f(x)= raiz2-raizx, com domínio [0,4].

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