Considerando desastres naturais, erupções vulcânicas estão entre as catástrofes mais difíceis de se prever. No entanto, é possível realizar estimativas razoáveis do tempo em que a lava pode atingir determinado local, dada a ocorrência de uma erupção. A relação entre a distância y
(em quilômetros) percorrida pela lava e o tempo t
(em horas) é dada pela equação:
.
Existe uma vila na base da montanha a uma distância de
. A defesa civil advertiu os moradores que a lava atingiria suas casas em menos de 6
horas. Utilizando o método de Newton-Rapshon, calcule o instante de tempo em que a lava do vulcão atinge a vila. Considere como critério de parada no máximo 3
iterações e utilize pelo menos 4 casas decimais.
(em quilômetros) percorrida pela lava e o tempo t
(em horas) é dada pela equação:
Existe uma vila na base da montanha a uma distância de
horas. Utilizando o método de Newton-Rapshon, calcule o instante de tempo em que a lava do vulcão atinge a vila. Considere como critério de parada no máximo 3
iterações e utilize pelo menos 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado fornece a relação entre distância e tempo:
Dados importantes que pegamos do enunciado:
- A vila está em
(quilômetros). - Devemos usar o método de Newton-Raphson para encontrar o instante
(em horas) em que a lava alcança . - Critério: no máximo
iterações. - Resultado com pelo menos
casas decimais.
O que se pede: encontrar o valor de
tal que a equação acima resulte em
, usando Newton-Raphson e respeitando o limite de
iterações.
Passo 2
Explicando o método de Newton-Raphson (do jeito mais direto e amigável):
- Se queremos resolver uma equação
, o método gera uma sequência pela fórmula
- Aqui
é a derivada de , que representa a inclinação (taxa de variação) de em cada ponto; ela nos diz o quanto devemos ajustar para ficar mais perto da raiz. - A cada iteração calcula-se
e e aplica-se a fórmula acima. Em problemas lineares (quando é uma reta), o método encontra a raiz exata em uma única iteração (isso é uma propriedade útil e surfista do Newton-Raphson).
Passo 3
Definimos a função a zerar a partir da condição
:
Vamos simplificar
:
- Calculemos
. - Calculemos
.
Portanto
A derivada é constante (porque
é linear):
Passo 4
Escolha do chute inicial: escolhi
hora (um chute simples e razoável). Agora aplicamos Newton-Raphson.
Primeiro calcule
:
Aplicando a fórmula
Observação algebraica útil: como
é linear, a expressão de
simplifica diretamente para a raiz exata:
Convertendo para fração para ver a periodicidade:
Em decimal isso é um decimal periódico:
Arredondando para quatro casas decimais:
Passo 5
Como
e já escolhemos
deixando
, as próximas iterações não mudam:
e o mesmo para
. Assim, dentro do limite de no máximo
iterações chegamos à solução estável na primeira iteração.
Passo 6
Verificação rápida substituindo
na equação original:
confirmando que a solução está correta.