Considere a integral \int_{0}^{\pi} \frac{x}{4}+x^{2}+\operatorname{sen}(x) d x
Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Quadratura de Gauss para 2 pontos.

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação da integral
\int_{0}^{\pi}\left(\frac{x}{4}+x^{2}+\operatorname{sen}(x)\right)\,dx,
usando a Quadratura de Gauss com 2 pontos.
Informações fornecidas:
  • Intervalo de integração: [0,\pi].
  • Integrando: f(x)=\dfrac{x}{4}+x^{2}+\operatorname{sen}(x).
  • Método exigido: Gauss (2 pontos), ou seja, a regra de Gauss–Legendre com n=2.

Passo 2

Breve explicação da Quadratura de Gauss 2 pontos (didática, sem pular etapas).
A regra de Gauss–Legendre com n=2 fornece uma aproximação da integral em [-1,1]
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{2} w_i\,g(t_i),
onde, para n=2, os nós e pesos são conhecidos e simples:
t_1=-\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad t_2=+\frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad w_1=w_2=1.
Isto é, cada peso vale 1 e os nós são simétricos em torno de zero. A ideia prática é transformar a integral em [0,\pi] para uma integral equivalente em [-1,1] e então aplicar a soma acima.

Passo 3

Transformação do intervalo [0,\pi] para [-1,1].
Seja a mudança de variável
x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,t,
onde a=0 e b=\pi. Assim
x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\,t, \qquad dx = \frac{b-a}{2}\,dt = \frac{\pi}{2}\,dt.
Portanto
\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx = \frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1} f\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}t\right)\,dt.
Aplicando a regra de Gauss 2 pontos obtemos a aproximação
\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx \approx \frac{\pi}{2}\sum_{i=1}^{2} w_i\, f\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}t_i\right),
com w_1=w_2=1 e t_1=-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\;t_2=+\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Cálculo dos pontos de avaliação x_i na variável original x.
Usando x_i=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\,t_i,
x_1=\frac{\pi}{2}\!\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right), \qquad x_2=\frac{\pi}{2}\!\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Agora valores numéricos (usando \pi\approx3,141592653589793 e \dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx0,5773502691896258):
\frac{\pi}{2}\approx1,5707963267948966,
\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,9068996821171084,
logo
x_1\approx1,5707963267948966-0,9068996821171084=0,6638966446777882,
x_2\approx1,5707963267948966+0,9068996821171084=2,477696008912005.

Passo 5

Avaliação do integrando f(x)=\dfrac{x}{4}+x^{2}+\operatorname{sen}(x) nos pontos x_1 e x_2.
Primeiro observe uma simetria útil: x_2=\pi-x_1, logo
\operatorname{sen}(x_2)=\operatorname{sen}(\pi-x_1)=\operatorname{sen}(x_1).
Calculemos f(x_1) com os valores numéricos obtidos:
x_1\approx0,6638966446777882,
\frac{x_1}{4}\approx0,1659741611694471,
x_1^{2}\approx0,4407597550000000\quad(\text{cálculo direto}),á
\operatorname{sen}(x_1)\approx0,6162077410000000\quad(\text{expansão em série ou cálculo numérico}).ãéáé
Somando:
f(x_1)\approx0,1659741611694471+0,440759755+0,616207741\approx1,2229416571694471.
Para x_2:
x_2\approx2,477696008912005,
\frac{x_2}{4}\approx0,6194240022280012,
x_2^{2}\approx6,138973502350831\quad(\text{cálculo direto}),á
\operatorname{sen}(x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\approx0,616207741.
Somando:
f(x_2)\approx0,6194240022280012+6,138973502350831+0,616207741\approx7,374605245578833.

Passo 6

Aplicação da fórmula de Gauss 2 pontos e cálculo final.
A aproximação é
\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx \approx \frac{\pi}{2}\bigl[f(x_1)+f(x_2)\bigr].
Substituindo os valores numéricos:
f(x_1)+f(x_2)\approx1,2229416571694471+7,374605245578833=8,59754690274828,
\frac{\pi}{2}\approx1,5707963267948966,
logo
\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx \approx 1,5707963267948966\cdot 8,59754690274828\approx13,50499508712242.

Passo 7

Comentário final e comparação rápida (opcional, para dar confiança).
A integral exata pode ser obtida por antiderivação:
\int\left(\frac{x}{4}+x^{2}+\operatorname{sen} x\right)dx=\frac{x^{2}}{8}+\frac{x^{3}}{3}-\cos x + C.
Avaliando de 0 a \pi
\left(\frac{\pi^{2}}{8}+\frac{\pi^{3}}{3}+1\right)-\left(0+0-1\right)=\frac{\pi^{2}}{8}+\frac{\pi^{3}}{3}+2\approx13,56912611023611.
Assim a aproximação de Gauss-2 pontos \approx13,50499508712242 tem erro aproximado de 0,06413, o que é razoável para apenas dois nós.

Resposta

13,50499508712242

Exercícios relacionados