Considere a integral
Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Quadratura de Gauss para 2 pontos.
Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Quadratura de Gauss para 2 pontos.
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação da integral
usando a Quadratura de Gauss com 2 pontos.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Intervalo de integração:
. - Integrando:
. - Método exigido: Gauss (2 pontos), ou seja, a regra de Gauss–Legendre com
.
Passo 2
Breve explicação da Quadratura de Gauss 2 pontos (didática, sem pular etapas).
A regra de Gauss–Legendre com fornece uma aproximação da integral em
A regra de Gauss–Legendre com
onde, para
, os nós e pesos são conhecidos e simples:
Isto é, cada peso vale
e os nós são simétricos em torno de zero. A ideia prática é transformar a integral em
para uma integral equivalente em
e então aplicar a soma acima.
Passo 3
Transformação do intervalo
para
.
Seja a mudança de variável
Seja a mudança de variável
onde
e
. Assim
Portanto
Aplicando a regra de Gauss 2 pontos obtemos a aproximação
com
e
.
Passo 4
Cálculo dos pontos de avaliação
na variável original
.
Usando ,
Usando
Agora valores numéricos (usando
e
):
logo
Passo 5
Avaliação do integrando
nos pontos
e
.
Primeiro observe uma simetria útil: , logo
Primeiro observe uma simetria útil:
Calculemos
com os valores numéricos obtidos:
Somando:
Para
:
Somando:
Passo 6
Aplicação da fórmula de Gauss 2 pontos e cálculo final.
A aproximação é
A aproximação é
Substituindo os valores numéricos:
logo
Passo 7
Comentário final e comparação rápida (opcional, para dar confiança).
A integral exata pode ser obtida por antiderivação:
A integral exata pode ser obtida por antiderivação:
Avaliando de
a
dá
Assim a aproximação de Gauss-2 pontos
tem erro aproximado de
, o que é razoável para apenas dois nós.