Um projeto exige que se faça uma estimativa com precisão da ordem de
do volume molar (v) tanto do dióxido de carbono como do oxigênio na temperatura de 300 K e pressão 1 atm para a escolha de recipientes de armazenamento adequados.
São fornecidos os seguintes dados:
Para dióxido de carbono
Para o oxigênio
Equação de Van der Waals:
Calcule os volumes de dióxido de carbono e de oxigênio nas condições apresentadas.
São fornecidos os seguintes dados:
Para dióxido de carbono
Para o oxigênio
Calcule os volumes de dióxido de carbono e de oxigênio nas condições apresentadas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue está extraído do enunciado, sem suposições externas).
-
Dados gerais:
-
. -
. -
.
-
-
Dados do dióxido de carbono (
): -
(unidades usuais ). -
.
-
-
Dados do oxigênio (
): -
. -
.
-
-
Equação fornecida (van der Waals, por mol):
O que o enunciado pede:
- Calcular o volume molar
(em ) do nas condições dadas. - Calcular o volume molar
(em ) do nas condições dadas.
Passo 2
Explicação e transformação da equação de van der Waals em uma equação cúbica para
. Vou mostrar passo a passo porque na prova é isso que você fará.
A equação original é
Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar denominadores) obtemos
Passando o termo da direita para a esquerda:
Essa é uma equação cúbica em
. Para as condições de gás a
e
normalmente existe uma raiz real grande (o volume gasoso, próximo ao valor ideal
). Na prova, a forma prática é:
- calcular
, - montar os coeficientes da cúbica,
- obter uma primeira aproximação (por exemplo
ou usando a aproximação de virial/van der Waals a primeira ordem), - refinar numericamente (Newton-Raphson) até a precisão desejada.
Vou aplicar essa rotina para cada gás, explicando cada passo das contas.
Passo 3
Cálculos preliminares comuns (mesmos para ambos os gases):
- Calcular
:
Para ficar claro: este é o volume molar ideal
quando
, isto é
Passo 4
Resolução para o dióxido de carbono (
) — montagem da cúbica.
- Usando
, , e , os coeficientes da cúbica
ficam com
Portanto a equação é
Passo 5
Método para encontrar a raiz prática (explicação didática do método numérico que usarei).
- Aproximação inicial simples: usar a expansão de virial/van der Waals de primeira ordem
(é útil na prova para obter uma boa aproximação sem calculadora pesada). A expansão dá, a primeira correção ao volume ideal:Aqui cada termo significa: -
: volume ideal; -
: correção por volume próprio das moléculas (aumenta ); -
: correção por interação atrativa (diminui ).
-
- Depois dessa aproximação inicial, aplicar Newton–Raphson para refinar até a precisão desejada. A função é
e a derivada - A iteração de Newton é
Isto é totalmente aplicável na prova: faz-se 1–2 iterações e geralmente alcança-se boa precisão.
Passo 6
Aplicação numérica para
— aproximação inicial e iteração (todos os números calculados passo a passo para você repetir na prova).
-
Aproximação inicial pela fórmula:Calcule
. Logo -
Agora a iteração de Newton. Primeiro avalia-se
e em . Calculei (passo a passo):EntãoEPortanto a correção éAssim -
Uma iteração adicional daria correção muito pequena (praticamente convergida). Portanto, com precisão de
(o que foi pedido), já podemos arredondar:
Passo 7
Resolução para o oxigênio (
) — montagem da cúbica e aproximação inicial.
- Coeficientes com
, :
A cúbica é
- Aproximação inicial usando a mesma fórmula:
Calcule . Logo
Passo 8
Iteração de Newton para
(passo a passo numérico).
- Avaliando
e em (para a cúbica do ):
Calculando numericamente:
Correção:
Assim
A correção é muito pequena: o valor já está convergido na precisão requerida.
- Portanto, com precisão de
,
Passo 9
Comentário interpretativo rápido (útil na hora da prova para justificar se os números fazem sentido):
- O volume molar ideal a essas condições é
. As correções de van der Waals (devido a e ) são pequenas aqui: para o volume real ficou um pouco menor que o ideal (pela atração intermolecular maior, maior), e para também queda leve. As diferenças são da ordem de a , compatível com os valores de e dados.