Um projeto exige que se faça uma estimativa com precisão da ordem de 10^{-2}(\mathrm{~L} / \mathrm{mol}) do volume molar (v) tanto do dióxido de carbono como do oxigênio na temperatura de 300 K e pressão 1 atm para a escolha de recipientes de armazenamento adequados.
São fornecidos os seguintes dados:
\mathrm{R}=0,082054 \mathrm{Latm} / \mathrm{mol} \mathrm{K}
Para dióxido de carbono
\mathrm{a}=3,592
\mathrm{b}=0,04267
Para o oxigênio
a=1,360
b=0,03183
Equação de Van der Waals: \left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R T
Calcule os volumes de dióxido de carbono e de oxigênio nas condições apresentadas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue está extraído do enunciado, sem suposições externas).
  • Dados gerais:
    • p=1\\ \mathrm{atm}.
    • T=300\\ \mathrm{K}.
    • R=0,082054\\ \mathrm{L\,atm/(mol\,K)}.
  • Dados do dióxido de carbono ( \mathrm{CO_2}):
    • a=3,592 (unidades usuais \mathrm{L^2\,atm/mol^2}).
    • b=0,04267\\ \mathrm{L/mol}.
  • Dados do oxigênio ( \mathrm{O_2}):
    • a=1,360.
    • b=0,03183\\ \mathrm{L/mol}.
  • Equação fornecida (van der Waals, por mol):
    \left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R T.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o volume molar v (em \mathrm{L/mol}) do \mathrm{CO_2} nas condições dadas.
  • Calcular o volume molar v (em \mathrm{L/mol}) do \mathrm{O_2} nas condições dadas.

Passo 2

Explicação e transformação da equação de van der Waals em uma equação cúbica para v. Vou mostrar passo a passo porque na prova é isso que você fará.
A equação original é
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R T.
Multiplicando ambos os lados por v^{2} (para eliminar denominadores) obtemos
p v^{3} - p b v^{2} + a v - a b = R T\, v^{2}.
Passando o termo da direita para a esquerda:
p v^{3} - (p b + R T)\,v^{2} + a v - a b = 0.
Essa é uma equação cúbica em v. Para as condições de gás a 300\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{atm} normalmente existe uma raiz real grande (o volume gasoso, próximo ao valor ideal v\approx R T/p). Na prova, a forma prática é:
  • calcular R T,
  • montar os coeficientes da cúbica,
  • obter uma primeira aproximação (por exemplo v_0 = R T/p ou usando a aproximação de virial/van der Waals a primeira ordem),
  • refinar numericamente (Newton-Raphson) até a precisão desejada.
Vou aplicar essa rotina para cada gás, explicando cada passo das contas.

Passo 3

Cálculos preliminares comuns (mesmos para ambos os gases):
  • Calcular \,R T: R T = 0,082054\cdot 300 = 24,6162\\ \mathrm{L\,atm/mol}.
Para ficar claro: este é o volume molar ideal v_{\text{ideal}}=R T/p quando p=1\\ \mathrm{atm}, isto é
v_{\text{ideal}}=\frac{R T}{p}=24,6162\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 4

Resolução para o dióxido de carbono ( \mathrm{CO_2}) — montagem da cúbica.
  • Usando p=1, a=3,592, b=0,04267 e R T=24,6162, os coeficientes da cúbica
v^{3} - (p b + R T)\,v^{2} + a v - a b = 0
ficam com
p b = 1\cdot 0,04267 = 0,04267,
p b + R T = 0,04267 + 24,6162 = 24,65887,
a b = 3,592\cdot 0,04267 = 0,15327064.
Portanto a equação é
v^{3} - 24,65887\,v^{2} + 3,592\,v - 0,15327064 = 0.

Passo 5

Método para encontrar a raiz prática (explicação didática do método numérico que usarei).
  • Aproximação inicial simples: usar a expansão de virial/van der Waals de primeira ordem
    (é útil na prova para obter uma boa aproximação sem calculadora pesada). A expansão dá, a primeira correção ao volume ideal: v \approx \frac{R T}{p} + b - \frac{a}{R T}.Aqui cada termo significa:
    • \dfrac{R T}{p}: volume ideal;
    • b: correção por volume próprio das moléculas (aumenta v);
    • \dfrac{a}{R T}: correção por interação atrativa (diminui v).
  • Depois dessa aproximação inicial, aplicar Newton–Raphson para refinar até a precisão desejada. A função é f(v)=v^{3} - 24,65887\,v^{2} + 3,592\,v - 0,15327064,e a derivada f'(v)=3v^{2} - 2\cdot 24,65887\,v + 3,592.
  • A iteração de Newton é v_{n+1}=v_{n}-\frac{f(v_{n})}{f'(v_{n})}.
Isto é totalmente aplicável na prova: faz-se 1–2 iterações e geralmente alcança-se boa precisão.

Passo 6

Aplicação numérica para \mathrm{CO_2} — aproximação inicial e iteração (todos os números calculados passo a passo para você repetir na prova).
  • Aproximação inicial pela fórmula:
    v_{\text{approx}}=\frac{R T}{p}+b-\frac{a}{R T}=24,6162+0,04267-\frac{3,592}{24,6162}.
    Calcule \dfrac{a}{R T}=\dfrac{3,592}{24,6162}\approx 0,1459. Logo
    v_{\text{approx}}\approx 24,6162+0,04267-0,1459=24,51297\\ \mathrm{L/mol}.
  • Agora a iteração de Newton. Primeiro avalia-se f(v) e f'(v) em v_{0}=24,51297.
    Calculei (passo a passo):
    v_{0}^{2}\approx 600,887169,\qquad v_{0}^{3}\approx14729,547174.
    Então
    f(v_{0})\approx 14729,547174 - 24,65887\cdot600,887169 + 3,592\cdot24,51297 - 0,15327064 \approx 0,2460.
    E
    f'(v_{0})\approx 3\cdot600,887169 - 2\cdot24,65887\cdot24,51297 + 3,592 \approx 597,3277.
    Portanto a correção é
    \Delta v=\frac{f(v_{0})}{f'(v_{0})}\approx \frac{0,2460}{597,3277}\approx 0,000412.
    Assim
    v_{1}=v_{0}-\Delta v\approx 24,51297-0,000412=24,51256\\ \mathrm{L/mol}.
  • Uma iteração adicional daria correção muito pequena (praticamente convergida). Portanto, com precisão de 10^{-2}\\ \mathrm{L/mol} (o que foi pedido), já podemos arredondar:
    v(\mathrm{CO_2})\approx 24,51\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 7

Resolução para o oxigênio ( \mathrm{O_2}) — montagem da cúbica e aproximação inicial.
  • Coeficientes com a=1,360, b=0,03183: p b = 0,03183,
p b + R T = 0,03183 + 24,6162 = 24,64803,
a b = 1,360\cdot 0,03183 = 0,0432888.
A cúbica é
v^{3} - 24,64803\,v^{2} + 1,360\,v - 0,0432888 = 0.
  • Aproximação inicial usando a mesma fórmula: v_{\text{approx}}=\frac{R T}{p}+b-\frac{a}{R T}=24,6162+0,03183-\frac{1,360}{24,6162}.Calcule \dfrac{a}{R T}=\dfrac{1,360}{24,6162}\approx 0,05525. Logo v_{\text{approx}}\approx 24,6162+0,03183-0,05525=24,59278\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 8

Iteração de Newton para \mathrm{O_2} (passo a passo numérico).
  • Avaliando f e f' em v_{0}=24,59278 (para a cúbica do \mathrm{O_2}): f(v)=v^{3} - 24,64803\,v^{2} + 1,360\,v - 0,0432888,
f'(v)=3v^{2} - 2\cdot24,64803\,v + 1,360.
Calculando numericamente:
f(v_{0})\approx -0,01257,\qquad f'(v_{0})\approx 603,4474.
Correção:
\Delta v=\frac{f(v_{0})}{f'(v_{0})}\approx -2{,}08\times10^{-5}.
Assim
v_{1}=v_{0}-\Delta v\approx 24,59278 - (-0,0000208)=24,59280\\ \mathrm{L/mol}.
A correção é muito pequena: o valor já está convergido na precisão requerida.
  • Portanto, com precisão de 10^{-2}\\ \mathrm{L/mol}, v(\mathrm{O_2})\approx 24,59\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 9

Comentário interpretativo rápido (útil na hora da prova para justificar se os números fazem sentido):
  • O volume molar ideal a essas condições é \,v_{\text{ideal}}=24,6162\\ \mathrm{L/mol}. As correções de van der Waals (devido a a e b) são pequenas aqui: para \mathrm{CO_2} o volume real ficou um pouco menor que o ideal (pela atração intermolecular maior, a maior), e para \mathrm{O_2} também queda leve. As diferenças são da ordem de 10^{-1} a 10^{-2}\\ \mathrm{L/mol}, compatível com os valores de a e b dados.

Resposta

v(\mathrm{CO_2})\approx 24,51\\ \mathrm{L/mol}
v(\mathrm{O_2})\approx 24,59\\ \mathrm{L/mol}

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