Considerando duas reações que ocorrem em temperatura ambiente. Determine a razão entre as constantes de velocidade para as duas reações que apresentam o mesmo valor do fator pré-exponencial, mas que os valores da Ea diferem em 1 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado dá duas reações que ocorrem em temperatura ambiente e diz que ambas têm o mesmo fator pré-exponencial A, mas que os valores da energia de ativação diferem em 1\\ \mathrm{kcal/mol}. Pede-se a razão entre as constantes de velocidade dessas duas reações. Informações relevantes:
  • As duas reações têm o mesmo A.
  • A diferença entre as energias de ativação é \Delta E_a = 1\\ \mathrm{kcal/mol}.
  • As reações ocorrem em temperatura ambiente (não foi dado valor numérico no enunciado).

Passo 2

Apresentação da fórmula que vamos usar (Arrhenius) e o que cada termo significa.
A lei de Arrhenius dá a constante de velocidade k como
k = A \, e^{-E_a/(R T)}.
Explicando cada termo, com calma:
  • k é a constante de velocidade da reação (o que queremos comparar).
  • A é o fator pré-exponencial (ou fator de frequência), que aqui é o mesmo para as duas reações.
  • E_a é a energia de ativação (em unidades de energia por mol).
  • R é a constante dos gases (numa unidade compatível com E_a).
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
    Essa fórmula diz que k cresce quando A aumenta e quando E_a diminui; a dependência mais sensível em E_a é exponencial.

Passo 3

Derivação da razão entre as constantes quando A é igual para ambas as reações.
Seja k_1 = A e^{-E_{a1}/(R T)} e k_2 = A e^{-E_{a2}/(R T)}. Dividindo:
\frac{k_1}{k_2} = \frac{A e^{-E_{a1}/(R T)}}{A e^{-E_{a2}/(R T)}} = e^{-(E_{a1}-E_{a2})/(R T)} = e^{(E_{a2}-E_{a1})/(R T)}.
Ou seja, a razão depende apenas da diferença \Delta E_a = E_{a2}-E_{a1} e de R T. Se definirmos que uma reação tem E_a maior que a outra em 1\\ \mathrm{kcal/mol}, então a reação com menor E_a terá a constante maior, e a razão (constante da menor E_a sobre a da maior E_a) é
\frac{k_{\text{menor }E_a}}{k_{\text{maior }E_a}} = e^{\Delta E_a/(R T)},
com \Delta E_a = 1\\ \mathrm{kcal/mol}.

Passo 4

Escolha da temperatura e da unidade de R. “Temperatura ambiente” vou tomar como 25^\circ\mathrm{C}, isto é T = 25 + 273 = 298\\ \mathrm{K}. Isso é uma escolha padrão quando se diz temperatura ambiente; o resultado numérico depende ligeiramente de T, mas 298 K é a convenção comum.
Para as unidades, é conveniente usar calorias para \Delta E_a e R em \mathrm{cal\\ mol^{-1} K^{-1}}. Convertendo:
\Delta E_a = 1\\ \mathrm{kcal/mol} = 1{,}000\\ \mathrm{cal/mol}.
A constante R vale aproximadamente
R = 1{,}987\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1} K^{-1}}.

Passo 5

Cálculo do expoente \displaystyle\frac{\Delta E_a}{R T}.
Primeiro R T:
R T = 1{,}987 \times 298 = 592{,}126\\ \mathrm{cal/mol}.
Agora o quociente:
\frac{\Delta E_a}{R T} = \frac{1{,}000}{592{,}126} \approx 1{,}688.
(ou seja, \frac{1{,}000}{1{,}987\cdot298}\approx1{,}688). Esse é o valor do expoente na exponencial.

Passo 6

Cálculo da razão exponencial e interpretação final.
\frac{k_{\text{menor }E_a}}{k_{\text{maior }E_a}} = e^{1{,}688} \approx 5{,}41.
Interpretação: uma reação cuja energia de ativação é 1\\ \mathrm{kcal/mol} menor que a de outra, à temperatura ambiente (aprox. 298\\ \mathrm{K}), terá uma constante de velocidade cerca de 5{,}4 vezes maior, assumindo o mesmo A. Em palavras: uma diferença de apenas 1\\ \mathrm{kcal/mol} na barreira de energia produz um efeito grande (fator ~5) nas taxas a 25^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\displaystyle \frac{k_{\text{menor }E_a}}{k_{\text{maior }E_a}} \approx 5{,}41

Exercícios relacionados