Se em uma reação química a Ea obtida foi de 30 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}, determine o efeito de uma elevação de 10^{\circ} \mathrm{C} na temperatura sobre a constante de velocidade à temperatura ambiente. Considere \mathrm{R}=1,99 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} . \mathrm{k}.
Resposta: k aumenta em pouco mais que 5 vezes.

Passo 1

O enunciado pede o efeito (fator de variação) sobre a constante de velocidade k quando a temperatura é aumentada em 10^\circ\mathrm{C} a partir da temperatura ambiente. Dados fornecidos:
  • E_a = 30\\ \mathrm{kcal/mol}.
  • R = 1,99\\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)}.
  • A elevação de temperatura é de 10^\circ\mathrm{C}.
    Vou assumir “temperatura ambiente” como 25^\circ\mathrm{C}, ou seja:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 298\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 35^\circ\mathrm{C} = 308\\ \mathrm{K}.
Também converto a energia de ativação para as mesmas unidades de R:
E_a = 30\\ \mathrm{kcal/mol} = 30000\\ \mathrm{cal/mol}.

Passo 2

Apresentação da fórmula que vamos usar (equação de Arrhenius) e dedução da razão entre constantes k:
A equação de Arrhenius é
k = A \exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R\,T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade à temperatura T;
  • A é o fator pré-exponencial (constante, independente de T para nosso propósito);
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{cal/mol} aqui);
  • R é a constante dos gases;
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Tomando a razão entre k_2 (em T_2) e k_1 (em T_1) as constantes A cancelam:
\frac{k_2}{k_1}=\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right) =\exp\!\left(\dfrac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)\right).
Essa expressão é a que vamos avaliar numericamente.

Passo 3

Cálculo numérico passo a passo. Primeiro calcule E_a/R:
\dfrac{E_a}{R}=\dfrac{30000}{1,99}\approx 15075,38\\ (\text{adimensional}).
Agora calcule 1/T_1 e 1/T_2:
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{298}\approx 0,00335570\\ \mathrm{K^{-1}}, \qquad \frac{1}{T_2}=\frac{1}{308}\approx 0,00324675\\ \mathrm{K^{-1}}.
A diferença é
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\approx 0,00335570-0,00324675=0,00010895\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 4

Multiplicando os termos para obter o logaritmo natural da razão:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) \approx 15075,38\times 0,00010895\approx 1,642.

Passo 5

Agora exponencial para obter o fator:
\frac{k_2}{k_1}=\exp(1,642)\approx 5,17.
Interpretação: um aumento de 10^\circ\mathrm{C} (de 25^\circ\mathrm{C} para 35^\circ\mathrm{C}) faz com que a constante de velocidade aumente em cerca de 5,17 vezes — ou seja, pouco mais que 5 vezes. Isso ocorre porque a sensibilidade à temperatura depende fortemente de E_a; com E_a grande a razão pode ser grande.

Passo 6

Observações finais e intuição rápida:
  • Se a temperatura inicial escolhida fosse um pouco diferente (por exemplo 20^\circ\mathrm{C} ou 30^\circ\mathrm{C}) o resultado mudaria um pouco, mas a ordem de grandeza (vários vezes) permaneceria; a escolha de 25^\circ\mathrm{C} é padrão para “temperatura ambiente”.
  • Regra prática muitas vezes citada (“aumentar 10^\circ\mathrm{C} dobra a velocidade”) é só uma aproximação para energias de ativação menores; aqui, com E_a=30\\ \mathrm{kcal/mol}, o aumento é muito maior.

Resposta

k aumenta em cerca de 5,17 vezes (pouco mais que 5 vezes).

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