Calcule Ea para uma reação cuja constante de velocidade na temperatura ambiente é duplicada por um aumento de 10^{\circ} \mathrm{C} em T. Considere R = 1,99 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} . \mathrm{k}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a constante de velocidade duplica quando a temperatura aumenta em 10^\circ\mathrm{C}. Ou seja, k_2 = 2k_1 para T_2 = T_1 + 10\\ \mathrm{K}.
  • Dado: R = 1,99\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Pedido: calcular a energia de ativação E_a.
  • Observação/assunção (necessária porque o enunciado só diz “temperatura ambiente” sem número): vou usar temperatura ambiente usual T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 298\\ \mathrm{K}. Então T_2 = 308\\ \mathrm{K}. Não perguntei nada porque devo seguir o enunciado; essa é a escolha padrão.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (Arrhenius) e significado das variáveis:
  • A lei de Arrhenius diz que a constante de velocidade é
k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade;
  • A é o fator pré-exponencial (constante, depende da reação);
  • E_a é a energia de ativação (o que queremos);
  • R é a constante dos gases;
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • A razão entre constantes em duas temperaturas elimina A e dá uma relação simples para E_a.

Passo 3

Formar a razão das constantes e isolar E_a:
  • Para as duas temperaturas T_1 e T_2,
\frac{k_2}{k_1}=\frac{A\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R T_2}\right)}{A\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R T_1}\right)} =\exp\!\left(-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right).
  • Como k_2/k_1=2, tomamos logaritmo natural:
\ln 2 = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right) =\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
  • Isolando E_a:
E_a = R\ln 2\;\Bigg/ \left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).

Passo 4

Simplificar a expressão usando \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{T_2-T_1}{T_1T_2}:
E_a = R\ln 2\;\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}.
Como T_2-T_1=10\\ \mathrm{K}, fica
E_a = R\ln 2\;\frac{T_1T_2}{10}.
Essa forma é prática: basta colocar R, \ln 2 e os dois valores de temperatura em kelvin.

Passo 5

Substituir números e calcular passo a passo:
  • Valores usados: R=1,99\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}, \ln 2\approx 0,693147, T_1=298\\ \mathrm{K}, T_2=308\\ \mathrm{K}.
  • Calcular T_1T_2:
T_1T_2 = 298\times308 = 91\,784.
  • Calcular R\ln 2:
R\ln 2 = 1,99\times 0,693147 \approx 1,37936.
  • Agora multiplicar e dividir por 10:
E_a \approx 1,37936\times\frac{91\,784}{10} = 1,37936\times9\,178,4 \approx 12\,660{,}3\\ \mathrm{cal/mol}.

Passo 6

Converter para unidades mais usuais (kcal/mol) e comentar o resultado:
E_a \approx \frac{12\,660{,}3}{1000}\\ \mathrm{kcal/mol} \approx 12,66\\ \mathrm{kcal/mol}.
Valor razoável para processos com dependência moderada da temperatura: uma duplicação por 10^\circ\mathrm{C} costuma corresponder a E_a na casa de algumas dezenas de kcal/mol; aqui deu cerca de 12{,}7\\ \mathrm{kcal/mol}.

Resposta

E_a \approx 1,27\times10^{4}\\ \mathrm{cal/mol}\;(\approx 12,7\\ \mathrm{kcal/mol})

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