Questão 2 (58 pts)
Os seguintes 25 dados
foram coletados de uma populaçāo normal, com
e
.
(a) Encontrar uma estimativa pontual da média e da variância da amostra.
(b) Qual é o intervalo de confiança bilateral de
para a média da populaçāo? Qual é o intervalo de confiança bilateral de
para o desvio padrāo da populaçạ̃o?
(c) Se a hipótese
for testada contra
ao nível de significância
, que decisão será tomada?
(d) Se a hipótese
for testada contra
ao nível de significância
, que decisão será tomada?
(e) Admitindo que o desvio padrão populacional seja igual a 1,5: Se a hipótese
for testada contra
ao nível de significância
.
(i) Que decisão será tomada?
(ii) Qual é a probabilidade
de tomar a decisão errada (isto é, nāo rejeitar
) se, na realidade, a média populacional é
?
Os seguintes 25 dados
(a) Encontrar uma estimativa pontual da média e da variância da amostra.
(b) Qual é o intervalo de confiança bilateral de
(c) Se a hipótese
(d) Se a hipótese
(e) Admitindo que o desvio padrão populacional seja igual a 1,5: Se a hipótese
(i) Que decisão será tomada?
(ii) Qual é a probabilidade
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pedidos:
- Dados coletados:
. - Tamanho da amostra:
. - Somatórios fornecidos:
-
. -
.
-
As perguntas são:
(a) Encontrar estimativa pontual da média e da variância da amostra.
(b) Calcular o intervalo de confiança bilateral de para a média da população e o intervalo de confiança bilateral de
para o desvio padrão da população.
(c) Testar contra
ao nível
e dizer a decisão.
(d) Testar contra
ao nível
e dizer a decisão.
(e) Admitindo (conhecido): testar
vs
ao nível
.
(i) qual a decisão?
(ii) se de fato , qual é a probabilidade
de não rejeitar
(erro tipo II)?
(a) Encontrar estimativa pontual da média e da variância da amostra.
(b) Calcular o intervalo de confiança bilateral de
(c) Testar
(d) Testar
(e) Admitindo
(i) qual a decisão?
(ii) se de fato
Passo 2
Calcular a média amostral
e a variância amostral
(estimador não viesado). Fórmulas e explicação:
- A média amostral é
Aqui
é o número de observações e
é a soma delas.
- A variância amostral não viesada é
Uma forma prática que usa
é
Isso evita calcular cada
separadamente.
Cálculos numéricos:
O desvio padrão amostral é
Passo 3
Intervalo de confiança bilateral de
para a média (sigma desconhecido, amostra de população normal): usar a distribuição
.
- Fórmula do intervalo:
onde
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade, correspondente à probabilidade
à esquerda. Aqui
(porque queremos
), então
.
- Para
e (nível de confiança ), o valor tabelado é aproximadamente
- Calcular o erro padrão da média:
- Margem de erro:
- Intervalo:
Passo 4
Intervalo de confiança bilateral de
para o desvio padrão populacional
(amostra de população normal): usar a distribuição qui-quadrado.
- Fórmula para o intervalo de
:
onde
é o quantil de ordem
da distribuição
com
graus de liberdade. Para o desvio padrão
aplicamos a raiz quadrada dos extremos.
-
Aqui
(porque queremos ), então . O número de graus de liberdade é . Calcula-se . -
Precisamos dos quantis
e . Em provas normalmente usa-se tabela; aqui usei a aproximação de Wilson–Hilferty para obter valores numéricos próximos (ou consulte a tabela/ calculadora estatística). Os valores aproximados são
- Então o intervalo para
é
- Tomando raiz quadrada para obter intervalo de
:
Passo 5
Teste (c):
vs
ao nível
, com
desconhecido.
- Estatística de teste (t de Student):
onde
,
,
,
. Grau de liberdade
.
- Calcular:
- Valor crítico para teste bilateral com
: . - Comparação:
. Portanto rejeitamos ao nível de .
Passo 6
Teste (d):
vs
ao nível
.
- Para testar variância usamos a estatística qui-quadrado
onde
. Já calculamos
.
- Calcular:
- Nível
implica . Os quantis críticos com são (aproximados pela mesma aproximação ou tabela):
- Regra de decisão (teste bilateral): rejeitar
se ou . - Aqui
está entre e , logo não se rejeita ao nível . Decisão: não rejeitar .
Passo 7
Teste (e) com
assumido conhecido igual a
.
(i) Teste
vs
ao nível
, com
conhecido.
- Quando
é conhecido usa-se o teste :
- Calcular:
- Valor crítico para teste bilateral com
é . O quantil padrão é aproximadamente
- Como
, rejeitamos ao nível .
(ii) Probabilidade
de não rejeitar
quando, na verdade,
.
- Sob a hipótese verdadeira
, a estatística (definida acima em relação a ) tem distribuição normal padrão deslocada:
- Região de não rejeição é
, ou seja . - Então
- Converter para probabilidades da normal padrão
:
- Calcular os argumentos:
Portanto a probabilidade de erro tipo II (não rejeitar
quando
) é aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b) Intervalo de
para a média:
Intervalo de para o desvio padrão
:
Intervalo de
(c) Rejeita-se
ao nível
.
(d) Não se rejeita
ao nível
.
(e)(i) Rejeita-se
ao nível
(e)(ii)
(e)(ii)