Questão 2 (58 pts)
Os seguintes 25 dados x_{1}, \ldots, x_{25} foram coletados de uma populaçāo normal, com \sum_{i=1}^{25} x_{i}=350 e \sum_{i=1}^{25} x_{i}^{2}=4975.
(a) Encontrar uma estimativa pontual da média e da variância da amostra.
(b) Qual é o intervalo de confiança bilateral de 98 \% para a média da populaçāo? Qual é o intervalo de confiança bilateral de 99 \% para o desvio padrāo da populaçạ̃o?
(c) Se a hipótese H_{0}: \mu=13 for testada contra H_{1}: \mu \neq 13 ao nível de significância \alpha=5 \%, que decisão será tomada?
(d) Se a hipótese H_{0}: \sigma=1,5 for testada contra H_{1}: \sigma \neq 1,5 ao nível de significância \alpha=2 \%, que decisão será tomada?
(e) Admitindo que o desvio padrão populacional seja igual a 1,5: Se a hipótese H_{0}: \mu=13 for testada contra H_{1}: \mu \neq 13 ao nível de significância \alpha=4 \%.
(i) Que decisão será tomada?
(ii) Qual é a probabilidade \beta de tomar a decisão errada (isto é, nāo rejeitar H_{0} ) se, na realidade, a média populacional é \mu=14 ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pedidos:
  • Dados coletados: x_{1},\dots,x_{25}.
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Somatórios fornecidos:
    • \displaystyle \sum_{i=1}^{25} x_{i}=350.
    • \displaystyle \sum_{i=1}^{25} x_{i}^{2}=4975.
As perguntas são:
(a) Encontrar estimativa pontual da média e da variância da amostra.
(b) Calcular o intervalo de confiança bilateral de 98\% para a média da população e o intervalo de confiança bilateral de 99\% para o desvio padrão da população.
(c) Testar H_{0}:\mu=13 contra H_{1}:\mu\neq13 ao nível \alpha=5\% e dizer a decisão.
(d) Testar H_{0}:\sigma=1,5 contra H_{1}:\sigma\neq1,5 ao nível \alpha=2\% e dizer a decisão.
(e) Admitindo \sigma=1{,}5 (conhecido): testar H_{0}:\mu=13 vs H_{1}:\mu\neq13 ao nível \alpha=4\%.
(i) qual a decisão?
(ii) se de fato \mu=14, qual é a probabilidade \beta de não rejeitar H_{0} (erro tipo II)?

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x} e a variância amostral s^{2} (estimador não viesado). Fórmulas e explicação:
  • A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}.
Aqui n é o número de observações e \sum x_{i} é a soma delas.
  • A variância amostral não viesada é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}.
Uma forma prática que usa \sum x_{i}^{2} é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}\Biggr).
Isso evita calcular cada x_{i}-\bar{x} separadamente.
Cálculos numéricos:
\bar{x}=\frac{350}{25}=14.
\sum_{i=1}^{25}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}=4975-25\cdot 14^{2}=4975-25\cdot196=4975-4900=75.
s^{2}=\frac{75}{25-1}=\frac{75}{24}=3{,}125.
O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{3{,}125}\approx1{,}7678.

Passo 3

Intervalo de confiança bilateral de 98\% para a média (sigma desconhecido, amostra de população normal): usar a distribuição t.
  • Fórmula do intervalo:
\bar{x}\pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, correspondente à probabilidade 1-\frac{\alpha}{2} à esquerda. Aqui \alpha=0{,}02 (porque queremos 98\%), então \frac{\alpha}{2}=0{,}01.
  • Para n-1=24 e \alpha/2=0{,}01 (nível de confiança 98\%), o valor tabelado é aproximadamente
t_{0{,}99,\,24}\approx2{,}492.
  • Calcular o erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}7678}{\sqrt{25}}=\frac{1{,}7678}{5}=0{,}3535534.
  • Margem de erro:
E=t\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=2{,}492\cdot0{,}3535534\approx0{,}8811.
  • Intervalo:
\bar{x}\pm E \;\Rightarrow\; 14\pm0{,}8811 = (13{,}1189,\;14{,}8811).

Passo 4

Intervalo de confiança bilateral de 99\% para o desvio padrão populacional \sigma (amostra de população normal): usar a distribuição qui-quadrado.
  • Fórmula para o intervalo de \sigma^{2}:
\left(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}},\\ \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2},\,n-1}}\right),
onde \chi^{2}_{p,\,\nu} é o quantil de ordem p da distribuição \chi^{2} com \nu graus de liberdade. Para o desvio padrão \sigma aplicamos a raiz quadrada dos extremos.
  • Aqui \alpha=0{,}01 (porque queremos 99\%), então \frac{\alpha}{2}=0{,}005. O número de graus de liberdade é \nu=n-1=24. Calcula-se (n-1)s^{2}=24\cdot3{,}125=75.
  • Precisamos dos quantis \chi^{2}_{0{,}005,24} e \chi^{2}_{0{,}995,24}. Em provas normalmente usa-se tabela; aqui usei a aproximação de Wilson–Hilferty para obter valores numéricos próximos (ou consulte a tabela/ calculadora estatística). Os valores aproximados são
\chi^{2}_{0{,}005,24}\approx9{,}84,\qquad \chi^{2}_{0{,}995,24}\approx45{,}57.
  • Então o intervalo para \sigma^{2} é
\left(\frac{75}{45{,}57},\\ \frac{75}{9{,}84}\right)\approx(1{,}646,\\\ 7{,}623).
  • Tomando raiz quadrada para obter intervalo de \sigma:
\sigma\in\bigl(\sqrt{1{,}646},\\ \sqrt{7{,}623}\bigr)\approx(1{,}283,\\\ 2{,}762).

Passo 5

Teste (c): H_{0}:\mu=13 vs H_{1}:\mu\neq13 ao nível \alpha=5\%, com \sigma desconhecido.
  • Estatística de teste (t de Student):
t=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}},
onde \mu_{0}=13, \bar{x}=14, s\approx1{,}7678, n=25. Grau de liberdade =24.
  • Calcular:
\frac{s}{\sqrt{n}}=0{,}3535534\quad\Rightarrow\quad t=\frac{14-13}{0{,}3535534}=2{,}828427\\ (\approx2{,}8284).
  • Valor crítico para teste bilateral com \alpha=0{,}05: t_{1-\alpha/2,24}=t_{0{,}975,24}\approx2{,}064.
  • Comparação: |t|=2{,}8284>2{,}064. Portanto rejeitamos H_{0} ao nível de 5\%.

Passo 6

Teste (d): H_{0}:\sigma=1{,}5 vs H_{1}:\sigma\neq1{,}5 ao nível \alpha=2\%.
  • Para testar variância usamos a estatística qui-quadrado
\chi^{2}=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
onde \sigma_{0}=1{,}5. Já calculamos (n-1)s^{2}=75.
  • Calcular:
\sigma_{0}^{2}=1{,}5^{2}=2{,}25,\qquad \chi^{2}=\frac{75}{2{,}25}=33{,}3333.
  • Nível \alpha=0{,}02 implica \alpha/2=0{,}01. Os quantis críticos com \nu=24 são (aproximados pela mesma aproximação ou tabela):
\chi^{2}_{0{,}01,24}\approx10{,}83,\qquad \chi^{2}_{0{,}99,24}\approx43{,}09.
  • Regra de decisão (teste bilateral): rejeitar H_{0} se \chi^{2}<\chi^{2}_{0{,}01,24} ou \chi^{2}>\chi^{2}_{0{,}99,24}.
  • Aqui \chi^{2}=33{,}333 está entre 10{,}83 e 43{,}09, logo não se rejeita H_{0} ao nível 2\%. Decisão: não rejeitar H_{0}.

Passo 7

Teste (e) com \sigma assumido conhecido igual a 1{,}5.
(i) Teste H_{0}:\mu=13 vs H_{1}:\mu\neq13 ao nível \alpha=4\%, com \sigma=1{,}5 conhecido.
  • Quando \sigma é conhecido usa-se o teste Z:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}.
  • Calcular:
\sigma/\sqrt{n}=\frac{1{,}5}{5}=0{,}3,\qquad Z=\frac{14-13}{0{,}3}=3{,}333333\ldots
  • Valor crítico para teste bilateral com \alpha=0{,}04 é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}98}. O quantil padrão é aproximadamente
z_{0{,}98}\approx2{,}05375.
  • Como |Z|=3{,}3333>2{,}05375, rejeitamos H_{0} ao nível 4\%.
(ii) Probabilidade \beta de não rejeitar H_{0} quando, na verdade, \mu=14.
  • Sob a hipótese verdadeira \mu=\mu_{1}=14, a estatística Z (definida acima em relação a \mu_{0}=13) tem distribuição normal padrão deslocada:
Z\sim N\Bigl(\Delta,\\\ 1\Bigr),\qquad \Delta=\frac{\mu_{1}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{14-13}{0{,}3}=3{,}3333.
  • Região de não rejeição é -z_{0{,}98}\le Z\le z_{0{,}98}, ou seja -2{,}05375\le Z\le2{,}05375.
  • Então
\beta=P(\text{não rejeitar }H_{0}\mid\mu=14)=P\bigl(-2{,}05375\le Z\le2{,}05375\bigr)\\ \text{onde }Z\sim N(3{,}3333,1).ã
  • Converter para probabilidades da normal padrão \Phi:
\beta=\Phi\bigl(2{,}05375-3{,}33333\bigr)-\Phi\bigl(-2{,}05375-3{,}33333\bigr).
  • Calcular os argumentos:
2{,}05375-3{,}33333=-1{,}27958,\qquad -2{,}05375-3{,}33333=-5{,}38708.
\Phi(-5{,}387) é praticamente zero. Assim
\beta\approx\Phi(-1{,}27958)\approx0{,}1004\\ (\text{aprox. }0{,}10).
Portanto a probabilidade de erro tipo II (não rejeitar H_{0} quando \mu=14) é aproximadamente 0{,}10.

Resposta

(a) \displaystyle \hat{\mu}=\bar{x}=14,\quad s^{2}=3{,}125.
(b) Intervalo de 98\% para a média: (13{,}1189,\;14{,}8811).
Intervalo de 99\% para o desvio padrão \sigma: (1{,}283,\;2{,}762).
(c) Rejeita-se H_{0}:\mu=13 ao nível \alpha=5\%.
(d) Não se rejeita H_{0}:\sigma=1{,}5 ao nível \alpha=2\%.
(e)(i) Rejeita-se H_{0}:\mu=13 ao nível \alpha=4\%.
(e)(ii) \displaystyle \beta\approx0{,}10.

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