(4,0) Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
(2 x y^2-3) d x+(2 x^2 y+4) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(2x y^2 - 3),dx + (2x^2 y + 4),dy = 0
e pede a solução geral. Vamos reconhecer que é uma equação exata do tipo
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
checar exatidão e em seguida encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M, partial phipartial y=N

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2x y^2-3, N(x,y)=2x^2 y+4
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=4x y, partial Npartial x=4x y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) satisfazendo phix=M.
Integrando em x:
phi(x,y)=integral(2x y^2-3),dx = x^2y^2-3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos phiy=N. Calculamos
phiy = 2x^2y + h'(y)
e impomos
2x^2y + h'(y)=2x^2y+4 ;Longrightarrow; h'(y)=4 ;Longrightarrow; h(y)=4y

Passo 5

Assim a função potencial fica
phi(x,y)=x^2y^2-3x+4y
e a solução geral implícita é
x^2y^2-3x+4y=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^2y^2 - 3x + 4y = C

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