Considerando a equação de um gás ideal, e seja a temperatura a função desejada. Escreva-a em termos das outras variáveis e escreva como ela varia em termos das outras, à moda do que fizemos com a pressão, escrevendo sua derivada total.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a temperatura como função das outras variáveis a partir da equação do gás ideal; (2) escrever como a temperatura varia em termos das variações das outras variáveis, isto é, escrever a derivada total (diferencial total) de T, do mesmo modo que se faz para a pressão.
Informações dadas (implícitas na frase): a equação do gás ideal é válida e as variáveis envolvidas são pressão, volume, quantidade de matéria e a constante dos gases. Não foram dadas condições adicionais (como n constante), por isso trataremos T como função de p, V e n.

Passo 2

Escrevendo a equação do gás ideal e isolando T. A equação do gás ideal (forma usual) é
pV=nRT.
Aqui:
  • \,p é a pressão,
  • \,V é o volume,
  • \,n é a quantidade de matéria (número de mols),
  • \,R é a constante universal dos gases (constante, conhecida),
  • \,T é a temperatura absoluta (em kelvin).
    Isolando T obtemos
T=\frac{pV}{nR}.

Passo 3

Explicando claramente o que significa escrever T em termos das outras variáveis: a expressão \;T=\dfrac{pV}{nR}\; diz que, para um gás ideal, a temperatura é proporcional ao produto pressão × volume e inversamente proporcional à quantidade de matéria (para R fixo). Em notação funcional, estamos considerando
T=T(p,V,n)=\frac{pV}{nR}.

Passo 4

Introduzindo o conceito de derivada total (diferencial total) para funções de várias variáveis. Se T=T(p,V,n), a variação total infinitesimal de T, denotada por dT, é dada pela soma das contribuições de cada variável independente multiplicada pela sua derivada parcial:
dT=\frac{\partial T}{\partial p}\,dp+\frac{\partial T}{\partial V}\,dV+\frac{\partial T}{\partial n}\,dn.
Aqui \,dp,\\ dV,\\ dn são as variações (diferenciais) das respectivas variáveis, e \partial T/\partial p significa a taxa de variação de T quando só p varia (mantendo V,n fixos), e análogas para as outras.

Passo 5

Calculemos agora cada derivada parcial de forma detalhada. Partimos de
T=\frac{pV}{nR}.
Para \partial T/\partial p (mantendo V e n constantes) tratamos V/(nR) como constante multiplicativa:
\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{nR}.
Para \partial T/\partial V (mantendo p e n constantes) tratamos p/(nR) como constante multiplicativa:
\frac{\partial T}{\partial V}=\frac{p}{nR}.
Para \partial T/\partial n (mantendo p e V constantes) lembramos que n aparece no denominador; derivando \,pV/(nR) em relação a n obtemos:
\frac{\partial T}{\partial n}=-\frac{pV}{n^{2}R}.
Nota: podemos reconhecer -\dfrac{pV}{n^{2}R}=-\dfrac{T}{n}, já que T=pV/(nR).

Passo 6

Substituindo as derivadas parciais na fórmula do diferencial total obtemos a variação de T:
dT=\frac{V}{nR}\,dp+\frac{p}{nR}\,dV-\frac{pV}{n^{2}R}\,dn.
Este é o resultado pedido: a expressão explícita da derivada total de T em função de dp,\\ dV,\\ dn.

Passo 7

Dando uma forma alternativa muito útil: dividir a expressão original T=\dfrac{pV}{nR} por T e aplicar diferencial logarítmico para obter uma relação entre variações relativas. Tomando diferencial logarítmico,
\frac{dT}{T}=\frac{dp}{p}+\frac{dV}{V}-\frac{dn}{n}.
Explicação rápida de por que isso funciona: \ln T=\ln p+\ln V-\ln n-\ln R, como R é constante seu diferencial é zero; diferenciando ambos os lados obtém-se a relação acima. Essa forma é prática quando queremos variações percentuais (relativas) em vez de variações absolutas.

Passo 8

Interpretação final e dica prática para prova: use a forma que for mais conveniente.
  • Se você tem pequenas variações absolutas dp,\\ dV,\\ dn e conhece p,V,n, use a forma
dT=\frac{V}{nR}\,dp+\frac{p}{nR}\,dV-\frac{pV}{n^{2}R}\,dn.
  • Se você quer variações relativas (percentuais), use
\frac{dT}{T}=\frac{dp}{p}+\frac{dV}{V}-\frac{dn}{n}.
Lembre-se de substituir R por sua constante numérica apenas se for necessário calcular valores numéricos. Vai dar tudo certo — respira, faz passo a passo, e aplica a fórmula que encaixa com os dados da prova.

Resposta

T=\frac{pV}{nR}
dT=\frac{V}{nR}\,dp+\frac{p}{nR}\,dV-\frac{pV}{n^{2}R}\,dn
\frac{dT}{T}=\frac{dp}{p}+\frac{dV}{V}-\frac{dn}{n}

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