Considerando a equação de um gás ideal, e seja a temperatura a função desejada. Escreva-a em termos das outras variáveis e escreva como ela varia em termos das outras, à moda do que fizemos com a pressão, escrevendo sua derivada total.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a temperatura como função das outras variáveis a partir da equação do gás ideal; (2) escrever como a temperatura varia em termos das variações das outras variáveis, isto é, escrever a derivada total (diferencial total) de
, do mesmo modo que se faz para a pressão.
Informações dadas (implícitas na frase): a equação do gás ideal é válida e as variáveis envolvidas são pressão, volume, quantidade de matéria e a constante dos gases. Não foram dadas condições adicionais (como constante), por isso trataremos
como função de
,
e
.
Informações dadas (implícitas na frase): a equação do gás ideal é válida e as variáveis envolvidas são pressão, volume, quantidade de matéria e a constante dos gases. Não foram dadas condições adicionais (como
Passo 2
Escrevendo a equação do gás ideal e isolando
. A equação do gás ideal (forma usual) é
Aqui:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de matéria (número de mols), -
é a constante universal dos gases (constante, conhecida), -
é a temperatura absoluta (em kelvin).
Isolandoobtemos
Passo 3
Explicando claramente o que significa escrever
em termos das outras variáveis: a expressão
diz que, para um gás ideal, a temperatura é proporcional ao produto pressão × volume e inversamente proporcional à quantidade de matéria (para
fixo). Em notação funcional, estamos considerando
Passo 4
Introduzindo o conceito de derivada total (diferencial total) para funções de várias variáveis. Se
, a variação total infinitesimal de
, denotada por
, é dada pela soma das contribuições de cada variável independente multiplicada pela sua derivada parcial:
Aqui
são as variações (diferenciais) das respectivas variáveis, e
significa a taxa de variação de
quando só
varia (mantendo
fixos), e análogas para as outras.
Passo 5
Calculemos agora cada derivada parcial de forma detalhada. Partimos de
Para
(mantendo
e
constantes) tratamos
como constante multiplicativa:
Para
(mantendo
e
constantes) tratamos
como constante multiplicativa:
Para
(mantendo
e
constantes) lembramos que
aparece no denominador; derivando
em relação a
obtemos:
Nota: podemos reconhecer
, já que
.
Passo 6
Substituindo as derivadas parciais na fórmula do diferencial total obtemos a variação de
:
Este é o resultado pedido: a expressão explícita da derivada total de
em função de
.
Passo 7
Dando uma forma alternativa muito útil: dividir a expressão original
por
e aplicar diferencial logarítmico para obter uma relação entre variações relativas. Tomando diferencial logarítmico,
Explicação rápida de por que isso funciona:
, como
é constante seu diferencial é zero; diferenciando ambos os lados obtém-se a relação acima. Essa forma é prática quando queremos variações percentuais (relativas) em vez de variações absolutas.
Passo 8
Interpretação final e dica prática para prova: use a forma que for mais conveniente.
- Se você tem pequenas variações absolutas
e conhece , use a forma
- Se você quer variações relativas (percentuais), use
Lembre-se de substituir
por sua constante numérica apenas se for necessário calcular valores numéricos. Vai dar tudo certo — respira, faz passo a passo, e aplica a fórmula que encaixa com os dados da prova.