Considerando um escoamento permanente, incompressível e laminar, totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano com viscosidade constante, no interior de um duto vertical de seção circular considerando o raio interno R. Determine a distribuição (perfil) de velocidade de escoamento em uma seção, a partir da equação de Navier-Stokes, desconsidere a variação de pressão do sistema e considere que o escoamento ocorra apenas devido à força da gravidade.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (pego do enunciado):
  • Pedir: determinar a distribuição (perfil) de velocidade em uma seção circular de raio interno R.
  • Dado: escoamento permanente (steady), incompressível, laminar, totalmente desenvolvido, fluido newtoniano com viscosidade constante \mu.
  • Dado: duto vertical de seção circular, raio interno R.
  • Dado: desconsidere a variação de pressão do sistema (ou seja, \nabla p = 0 na direção do escoamento).
  • Dado: o escoamento ocorre apenas devido à força da gravidade (força volumétrica \rho \mathbf g atua na direção do eixo do duto).
  • O objetivo concreto aqui: encontrar v_z(r), a componente axial da velocidade como função do raio r (com 0\le r\le R), usando a equação de Navier–Stokes com as simplificações acima.

Passo 2

Escrevendo a equação de Navier–Stokes incompressível e explicando cada termo:
\rho\!\left(\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} + \mathbf v\!\cdot\!\nabla\mathbf v\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf v + \rho \mathbf g.
Explicação dos termos:
  • \rho é a densidade do fluido.
  • \mathbf v é o campo velocidade (componentes v_r,v_\theta,v_z em coordenadas cilíndricas).
  • \partial\mathbf v/\partial t é a variação temporal (zeramos porque o escoamento é permanente).
  • \mathbf v\!\cdot\!\nabla\mathbf v é o termo convectivo (poderá anular sob hipóteses de escoamento totalmente desenvolvido).
  • -\nabla p é o gradiente de pressão (foi-nos dito para desconsiderar variação de pressão, então \nabla p=0).
  • \mu\nabla^2\mathbf v é o termo viscoso (para fluido newtoniano com viscosidade constante).
  • \rho\mathbf g é a força volumétrica da gravidade (no sentido axial do duto vertical).
Agora aplicamos as simplificações ao problema:
  • Escoamento totalmente desenvolvido e unidirecional no eixo z: v_r=0,\; v_\theta=0,\; v_z=v_z(r) (a velocidade depende só do raio r).
  • Permanente: \partial/\partial t = 0.
  • Como v_z depende somente de r, o termo convectivo \mathbf v\!\cdot\!\nabla\mathbf v é nulo.
  • Gradiente de pressão desprezado: \nabla p = 0.
  • A única equação não trivial é a componente axial (direção z).

Passo 3

Escrever a equação reduzida para a componente axial e expressá-la em coordenadas cilíndricas:
Com as simplificações, a equação axial fica
0 = \mu \nabla^2 v_z + \rho g,
onde g é a componente da gravidade na direção positiva escolhida do eixo z. Em coordenadas cilíndricas, quando v_z=v_z(r),
\nabla^2 v_z = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right).
Portanto a equação diferencial ordinária a resolver é
\mu \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right) + \rho g = 0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial passo a passo:
Multiplicando por r:
\mu \frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right) + \rho g\, r = 0.
Isolando a derivada e integrando uma vez em r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right) = -\frac{\rho g}{\mu} r.
Integrando em r:
r\frac{dv_z}{dr} = -\frac{\rho g}{2\mu} r^2 + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Dividindo por r (para r>0):
\frac{dv_z}{dr} = -\frac{\rho g}{2\mu} r + \frac{C_1}{r}.
Condição de regularidade no centro ( r=0): a velocidade deve ser finita e \frac{dv_z}{dr} finita; o termo C_1/r seria singular em r=0 a menos que C_1=0. Portanto impomos C_1=0. Assim
\frac{dv_z}{dr} = -\frac{\rho g}{2\mu} r.
Integrando novamente:
v_z(r) = -\frac{\rho g}{4\mu} r^2 + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 5

Aplicar condição de contorno no bordo (no-slip) e obter a solução explícita:
Condição de parede (no-slip): a velocidade na parede é nula,
v_z(R)=0.
Substituindo em v_z(r):
0 = -\frac{\rho g}{4\mu} R^2 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{\rho g}{4\mu} R^2.
Logo a distribuição de velocidade é
v_z(r) = \frac{\rho g}{4\mu}\bigl(R^2 - r^2\bigr),\qquad 0\le r\le R.
Comentário físico: é um perfil parabólico (semelhante ao perfil de Hagen–Poiseuille), com velocidade máxima no centro v_{max}=v_z(0)=\dfrac{\rho g R^2}{4\mu} e zero na parede. Se a direção positiva do eixo z foi escolhida para baixo, então g>0 e o fluxo é para baixo; invertendo a orientação muda apenas o sinal.

Passo 6

Resultados auxiliares (úteis na prova e para entendimento):
  • Velocidade máxima no centro:
v_{\max}=v_z(0)=\frac{\rho g R^2}{4\mu}.
  • Vazão volumétrica Q (integração em seção): calcular
Q = 2\pi \int_0^R v_z(r)\, r\, dr = \pi \frac{\rho g}{8\mu} R^4.
  • Tensão de cisalhamento radial:
\tau_{rz}(r) = \mu \frac{dv_z}{dr} = -\frac{\rho g}{2}\, r,
e na parede \tau_{w}=\tau_{rz}(R) = -\dfrac{\rho g}{2}R (sinal depende da convenção de eixos).

Resposta

\displaystyle v_z(r)=\frac{\rho g}{4\mu}\bigl(R^2-r^2\bigr)

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