Considerando um escoamento permanente, incompressível e laminar, totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano com viscosidade constante, no interior de um duto vertical de seção circular considerando o raio interno R. Determine a distribuição (perfil) de velocidade de escoamento em uma seção, a partir da equação de Navier-Stokes, desconsidere a variação de pressão do sistema e considere que o escoamento ocorra apenas devido à força da gravidade.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado (pego do enunciado):
- Pedir: determinar a distribuição (perfil) de velocidade em uma seção circular de raio interno
. - Dado: escoamento permanente (steady), incompressível, laminar, totalmente desenvolvido, fluido newtoniano com viscosidade constante
. - Dado: duto vertical de seção circular, raio interno
. - Dado: desconsidere a variação de pressão do sistema (ou seja,
na direção do escoamento). - Dado: o escoamento ocorre apenas devido à força da gravidade (força volumétrica
atua na direção do eixo do duto). - O objetivo concreto aqui: encontrar
, a componente axial da velocidade como função do raio (com ), usando a equação de Navier–Stokes com as simplificações acima.
Passo 2
Escrevendo a equação de Navier–Stokes incompressível e explicando cada termo:
Explicação dos termos:
-
é a densidade do fluido. -
é o campo velocidade (componentes em coordenadas cilíndricas). -
é a variação temporal (zeramos porque o escoamento é permanente). -
é o termo convectivo (poderá anular sob hipóteses de escoamento totalmente desenvolvido). -
é o gradiente de pressão (foi-nos dito para desconsiderar variação de pressão, então ). -
é o termo viscoso (para fluido newtoniano com viscosidade constante). -
é a força volumétrica da gravidade (no sentido axial do duto vertical).
Agora aplicamos as simplificações ao problema:
- Escoamento totalmente desenvolvido e unidirecional no eixo
: (a velocidade depende só do raio ). - Permanente:
. - Como
depende somente de , o termo convectivo é nulo. - Gradiente de pressão desprezado:
. - A única equação não trivial é a componente axial (direção
).
Passo 3
Escrever a equação reduzida para a componente axial e expressá-la em coordenadas cilíndricas:
Com as simplificações, a equação axial fica
Com as simplificações, a equação axial fica
onde
é a componente da gravidade na direção positiva escolhida do eixo
. Em coordenadas cilíndricas, quando
,
Portanto a equação diferencial ordinária a resolver é
Passo 4
Resolver a equação diferencial passo a passo:
Multiplicando por :
Multiplicando por
Isolando a derivada e integrando uma vez em
:
Integrando em
:
onde
é constante de integração. Dividindo por
(para
):
Condição de regularidade no centro (
): a velocidade deve ser finita e
finita; o termo
seria singular em
a menos que
. Portanto impomos
. Assim
Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Aplicar condição de contorno no bordo (no-slip) e obter a solução explícita:
Condição de parede (no-slip): a velocidade na parede é nula,
Condição de parede (no-slip): a velocidade na parede é nula,
Substituindo em
:
Logo a distribuição de velocidade é
Comentário físico: é um perfil parabólico (semelhante ao perfil de Hagen–Poiseuille), com velocidade máxima no centro
e zero na parede. Se a direção positiva do eixo
foi escolhida para baixo, então
e o fluxo é para baixo; invertendo a orientação muda apenas o sinal.
Passo 6
Resultados auxiliares (úteis na prova e para entendimento):
- Velocidade máxima no centro:
- Vazão volumétrica
(integração em seção): calcular
- Tensão de cisalhamento radial:
e na parede
(sinal depende da convenção de eixos).