Exercício R.1.5.1. Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial de 93^{\circ} \mathrm{C}, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21^{\circ} \mathrm{C}. O ar no compartimento está a 27^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película é 5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se :
o duto é pintado com laca branca ( \varepsilon=0,9 )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (alguns valores foram extraídos da imagem enviada):
  • Dados do problema:
    • diâmetro externo do duto: D_o=0,22\\ \mathrm{m} (peguei este valor do enunciado/imagem);
    • temperatura superficial do duto: T_t=93^\circ\mathrm{C} (peguei este valor do enunciado/imagem);
    • temperatura do ar no compartimento: T_{ar}=27^\circ\mathrm{C} (peguei este valor do enunciado/imagem);
    • temperatura das paredes do compartimento (envolvente grande): T_p=21^\circ\mathrm{C} (peguei este valor do enunciado/imagem);
    • coeficiente de película (convecção): h=5\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-2}\cdot {}^\circ C^{-1}} (dado);
    • emissividade da pintura: \varepsilon=0,9 (dado).
  • O que o enunciado pede:
    • determinar a taxa de calor transferida por unidade de comprimento do tubo (por metro), ou seja \dot q' em \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-1}}, considerando perdas por convecção para o ar e por radiação para as paredes do compartimento.

Passo 2

Cálculo da transferência convectiva (explicação e aplicação passo a passo).
  • Fórmula básica para convecção na superfície do cilindro (por unidade de comprimento):
\dot q'_{conv}=h\,A'\,(T_t-T_{ar})
onde:
  • \dot q'_{conv} é a taxa de calor por comprimento [ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-1}}];
  • h é o coeficiente de película [ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-2}\cdot {}^\circ C^{-1}}];
  • A' é a área externa por unidade de comprimento (área lateral por metro) [ \mathrm{m^2\cdot m^{-1}}=\mathrm{m^2} por metro de tubo];
  • T_t e T_{ar} são temperaturas da superfície do tubo e do ar em ^{\circ}\mathrm{C}. (Diferenças de temperatura em ^\circ\mathrm{C} podem ser tratadas numericamente como diferenças em K.)
  • Área lateral por metro:
A'=\pi D_o=\pi(0,22)=0,22\pi\\ \mathrm{m^2/m}\approx 0,69115\\ \mathrm{m^2/m}.
  • Diferença de temperatura:
T_t-T_{ar}=93-27=66\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Agora calcular:
\dot q'_{conv}=5\cdot 0,69115\cdot 66.
Calcule passo a passo:
5\cdot 0,69115=3,45575,
3,45575\cdot 66=228,078\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-1}}.
Arredondando de forma prática:
\dot q'_{conv}\approx 228,1\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-1}}.

Passo 3

Cálculo da transferência radiativa (explicação didática e cálculo).
  • Fórmula da radiação entre a superfície do duto e a envolvente (grande caixa) assumida como corpo negro à temperatura T_p:
\dot q'_{rad}=\varepsilon\,\sigma\,A'\,\bigl(T_t^{4}-T_p^{4}\bigr)
onde:
  • \varepsilon é a emissividade da superfície (adimensional);
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann (em unidades compatíveis);
  • A' é a mesma área por metro já calculada;
  • T_t e T_p devem estar em Kelvin (K) ao usar potências de 4.
  • Conversão de temperaturas para Kelvin:
T_t=93^\circ\mathrm{C}=93+273,15=366,15\\ \mathrm{K},
T_p=21^\circ\mathrm{C}=21+273,15=294,15\\ \mathrm{K}.
  • Valor de \sigma em unidades de \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}.
    • Em SI: \sigma_{\mathrm{SI}}=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}.
    • Conversão: 1\\ \mathrm{W}=0{,}86042065\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}}.
    • Logo
\sigma = \sigma_{\mathrm{SI}}\times 0{,}86042065 \approx 5{,}670374419\times10^{-8}\times0{,}86042065 \approx 4{,}879\times10^{-8}\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}.
  • Agora calcular T_t^{4}-T_p^{4}. Faço em etapas (para clareza):
T_t^{2}=366{,}15^{2}\approx 134\,065{,}8225,
T_p^{2}=294{,}15^{2}\approx 86\,524{,}2225.
T_t^{4}=(T_t^{2})^{2}\approx 134\,065{,}8225^{2}, \quad T_p^{4}=(T_p^{2})^{2}\approx 86\,524{,}2225^{2}.
Uso a identidade a^{4}-b^{4}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}) para simplificar:
T_t^{4}-T_p^{4}=(134\,065{,}8225-86\,524{,}2225)\times(134\,065{,}8225+86\,524{,}2225).
=47\,541{,}6\times220\,590{,}045\approx 1{,}0487\times10^{10}\\ \mathrm{K^{4}}.
  • Finalmente calcular \dot q'_{rad}:
\dot q'_{rad}=\varepsilon\,\sigma\,A'\,(T_t^{4}-T_p^{4}) =0{,}9\cdot 4{,}879\times10^{-8}\cdot 0{,}69115\cdot 1{,}0487\times10^{10}.
Calcule passo a passo:
4{,}879\times10^{-8}\cdot 0{,}69115\approx 3{,}373\times10^{-8},
0{,}9\cdot 3{,}373\times10^{-8}\approx 3{,}036\times10^{-8},
3{,}036\times10^{-8}\cdot 1{,}0487\times10^{10}\approx 318{,}3\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-1}}.
Portanto
\dot q'_{rad}\approx 318{,}3\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-1}}.

Passo 4

Somando as contribuições convectiva e radiativa (ambas retiradas da superfície do tubo para o ambiente):
\dot q'=\dot q'_{conv}+\dot q'_{rad}\approx 228{,}1+318{,}3=546{,}4\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-1}}.
Interpretação curta e encorajamento: a radiação é aqui uma parcela significativa (maior que a convecção) por causa da temperatura relativamente alta do duto e da alta emissividade da pintura branca. Você pode usar o mesmo procedimento em prova: 1) calcular convecção com hA\Delta T; 2) calcular radiação convertendo temperaturas para Kelvin e usando \varepsilon\sigma A(T^4-T_{surr}^4); 3) somar.

Resposta

\dot q' \approx 546{,}4\\ \mathrm{kcal\cdot h^{-1}\cdot m^{-1}}

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