(a) Considerando-se o escoamento em regime laminar na região compreendida entre dois tubos concêntricos horizontais, explique como a vazão volumétrica do fluido pode ser determinada quando são conhecidos os seguintes dados: comprimento dos tubos (L), diâmetro interno (Di) e externo (De), viscosidade do fluido ( \mu ), densidade do fluido ( \rho ) e queda de pressão ao longo do tubo (Po - PL).
(b) Discuta a validade da análise para o regime laminar.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que se segue:
  • Dados fornecidos:
    • comprimento dos tubos: L;
    • diâmetro interno (do tubo interno): D_i;
    • diâmetro externo (do tubo externo): D_e;
    • viscosidade dinâmica do fluido: \mu;
    • densidade do fluido: \rho;
    • queda de pressão ao longo do tubo: P_o-P_L (pressão de entrada menos pressão de saída).
  • O que se pede:
    • (a) determinar a vazão volumétrica Q do fluido entre os dois tubos concêntricos (anel), usando os dados acima;
    • (b) discutir a validade da análise para o regime laminar (quando a solução é aplicável e que condicionantes existem).

Passo 2

Hipóteses e formulação do problema (coisa importante para a prova — veja por que se faz cada hipótese):
  • Considera-se escoamento estacionário, incompressível, newtoniano e totalmente desenvolvido (perfil de velocidade não muda ao longo do eixo): assim a velocidade axial u depende só da coordenada radial r, isto é u=u(r).
  • Tubos são concêntricos, horizontais (não há componente de gravidade no eixo do escoamento), condições de não deslizamento (no-slip) nas paredes: u(r_i)=0 e u(r_o)=0.
  • Radii: r_i=\dfrac{D_i}{2} e r_o=\dfrac{D_e}{2}.
Agora a equação diferencial que descreve o equilíbrio entre gradiente de pressão e viscosidade, na forma reduzida (Navier–Stokes para escoamento axial, axisimétrico e totalmente desenvolvido) é
\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{dp}{dz},
onde z é a coordenada axial e \dfrac{dp}{dz} é o gradiente de pressão (constante em escoamento totalmente desenvolvido). Para facilitar, defina
G \equiv -\frac{dp}{dz}=\frac{P_o-P_L}{L},
onde G>0 quando o fluido flui do ponto de maior pressão ao de menor pressão.
Resolvendo a equação diferencial passo a passo:
  1. Multiplicar por r e integrar uma vez:
\mu\, r\frac{du}{dr}=\frac{dp}{dz}\frac{r^2}{2}+C_1
  1. Isolar du/dr e integrar de novo:
\frac{du}{dr}=\frac{dp}{dz}\frac{r}{2\mu}+\frac{C_1}{\mu r} \quad\Rightarrow\quad u(r)=\frac{dp}{dz}\frac{r^2}{4\mu}+C_1\ln r + C_2.
  1. Usando dp/dz=-G e as condições de contorno u(r_i)=0 e u(r_o)=0, encontra-se (aplicar as duas condições e resolver para C_1,C_2; aqui está o cálculo esquematizado):
  • Substituindo nas duas condições e subtraindo as equações resulta em uma expressão para C_1 que, escrita de forma limpa, é
C_1=\frac{G}{4\mu}\,\frac{r_o^2-r_i^2}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
  • Substituindo C_1 numa das condições obtém-se C_2 e a solução final para o perfil de velocidade:
u(r)=\frac{G}{4\mu}\left(r_o^2-r^2-\frac{r_o^2-r_i^2}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r}\right)\right).
Explicação rápida do que significa cada termo:
  • G/(4\mu) escala a velocidade com a força motriz (P_o-P_L)/L e com a viscosidade;
  • o termo r_o^2-r^2 seria o perfil parabólico puro (como em tubo cheio) se não houvesse a parede interna;
  • o termo com \ln corrige para a presença do cilindro interno, garantindo u(r_i)=u(r_o)=0.

Passo 3

Cálculo da vazão volumétrica Q integrando o perfil:
A vazão é a integral da velocidade sobre a seção anular:
Q=2\pi\int_{r_i}^{r_o} u(r)\,r\,dr.
Substituindo o u(r) obtido e realizando a integração (as integrais são elementares: polinomiais e do tipo \int r\ln r\,dr), obtém-se a expressão clássica conhecida para escoamento laminar em anel concêntrico:
Q=\frac{\pi G}{8\mu}\left(r_o^4-r_i^4-\frac{\left(r_o^2-r_i^2\right)^2}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\right).
Voltando a G=(P_o-P_L)/L temos a forma prática mais usada:
\boxed{\,Q=\frac{\pi\,(P_o-P_L)}{8\mu L}\left(r_o^4-r_i^4-\frac{\left(r_o^2-r_i^2\right)^2}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\right)\,}
ou, em função dos diâmetros ( r_o=D_e/2,\;r_i=D_i/2), substituindo r^n=(D/2)^n se preferir trabalhar com D_e e D_i.
Observação prática para a prova: calcule r_i e r_o, calcule o termo entre parênteses com cuidado (atenção ao logaritmo), multiplique por \pi(P_o-P_L)/(8\mu L) e pronto — essa é a vazão. Se quiser a velocidade média use U_{avg}=Q/A com A=\pi(r_o^2-r_i^2).

Passo 4

Como avaliar se o resultado é válido — critérios para regime laminar e outras condições que devem ser checadas na prova:
  1. Número de Reynolds adequado:
  • Para escoamento em anel usa-se geralmente o diâmetro hidráulico
D_h=D_e-D_i=2(r_o-r_i),
a área da seção é A=\pi(r_o^2-r_i^2) e a velocidade média é U_{avg}=Q/A.
  • Defina o número de Reynolds típico do anel por
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_{avg}\,D_h}{\mu}.
  • Regime laminar exige \mathrm{Re} abaixo de um valor crítico da ordem de 2000 (essa é a referência para tubo circular; para anel concêntrico o valor crítico depende da razão r_i/r_o, mas usar \mathrm{Re}\lesssim2000 é uma boa regra prática). Se \mathrm{Re} estiver muito acima disso, a hipótese laminar (e portanto a fórmula) NÃO é válida.
  1. Comprimento suficiente para desenvolvimento:
  • A fórmula assume escoamento hidrodinamicamente totalmente desenvolvido. O comprimento de entrada aproximado é da ordem
L_e \sim 0{,}05\,\mathrm{Re}\,D_h
(estimativa análoga à do tubo circular). Se L for menor que L_e, o perfil não está desenvolvido ao longo de todo o trecho e a fórmula não se aplica diretamente.
  1. Outras hipóteses que devem ser verificadas:
  • Fluido newtoniano e incompressível (se o fluido for não-newtoniano a relação entre tensão e taxa de deformação muda e a solução é outra);
  • Concentricidade: esta solução pressupõe tubos concêntricos. Se houver excentricidade (centros deslocados) o perfil e a vazão mudam e a solução é mais complexa;
  • Superfícies razoavelmente lisas e condições de não deslizamento nas paredes;
  • Ausência de diferenças significativas de temperatura que alterem \mu e \rho ao longo do comprimento (ou então tratar variação de propriedades).
  1. Faixas práticas e observações:
  • Para Re moderado (próximo da transição) a solução pode falhar; estabilidade do escoamento depende também da razão r_i/r_o (raios muito próximos podem intensificar a tendência à turbulência em fendas finas).
  • Se houver inclinação (efeito gravitacional no eixo) ou forças externas significativas, será preciso acrescentar termo de corpo na equação.

Passo 5

Resumo didático para usar na prova (receita rápida, passo a passo):
  1. Calcule r_i=D_i/2 e r_o=D_e/2.
  2. Calcule \Delta P=P_o-P_L e G=\Delta P/L.
  3. Use a fórmula
Q=\frac{\pi\,(P_o-P_L)}{8\mu L}\left(r_o^4-r_i^4-\frac{\left(r_o^2-r_i^2\right)^2}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\right).
  1. Calcule A=\pi(r_o^2-r_i^2) e U_{avg}=Q/A para obter U_{avg}.
  2. Calcule \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U_{avg} D_h}{\mu} com D_h=D_e-D_i. Se \mathrm{Re}\lesssim 2000 e L maior que o comprimento de entrada estimado, a hipótese laminar e a fórmula são válidas; caso contrário, não são.
Vai dar tudo certo — segue essa receita na prova que é onde geralmente pedem exatamente isso: derivar ou lembrar a fórmula e depois checar se o regime laminar é consistente com os números.

Resposta

(a) \displaystyle Q=\frac{\pi\,(P_o-P_L)}{8\mu L}\!\left(r_o^4-r_i^4-\frac{(\,r_o^2-r_i^2\,)^2}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\right), com r_i=\dfrac{D_i}{2} e r_o=\dfrac{D_e}{2}.\n(b) A análise é válida se o escoamento for estacionário, incompressível e newtoniano, os tubos forem concêntricos, o perfil estiver totalmente desenvolvido e o regime for laminar — verificado por \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U_{avg} D_h}{\mu} (com D_h=D_e-D_i e U_{avg}=Q/A) sendo tipicamente \mathrm{Re}\lesssim2000; além disso L deve ser maior que o comprimento de entrada (aprox. L_e\sim0{,}05\,\mathrm{Re}\,D_h).

Exercícios relacionados