Em um fluido estagnado de densidade
e viscosidade
, uma esfera de diâmetro D1 e densidade
é solta e alcança uma velocidade terminal VT1. Se, no mesmo fluido, fosse solta uma esfera com a mesma densidade
, mas com diâmetro
, a velocidade terminal seria VT2. Expresse a razão VT2/VT1, considerando os seguintes casos:
Para ambas as esferas, o coeficiente de arraste é um valor constante f.
Para ambas as esferas, o coeficiente de arraste é um valor constante f.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi informado):
- Fluido com densidade
e viscosidade . - Duas esferas, ambas com densidade
. - Diâmetro da primeira esfera:
. Velocidade terminal observada: . - Diâmetro da segunda esfera:
. Velocidade terminal desejada: . - Para ambas as esferas, o coeficiente de arrasto é um valor constante
(mesmo para as duas).
O que o problema pede: expressar a razãosob a hipótese de constante para as duas esferas.
Passo 2
Conceito físico essencial (explicado passo a passo, sem pular etapas):
- Velocidade terminal ocorre quando a esfera cai com velocidade constante; isso significa que a soma das forças verticais sobre a esfera é zero: o peso para baixo é exatamente balanceado pela soma da força de empuxo para cima e pela força de arrasto para cima.
- Forças envolvidas:
- Peso: força gravitacional sobre a esfera,
, onde é a massa da esfera e a aceleração da gravidade. - Empuxo (princípio de Arquimedes): força para cima igual ao peso do fluido deslocado,
, onde é o volume da esfera. - Arrasto (força resistiva do fluido): para um corpo com área projetada
, velocidade e coeficiente de arrasto (aqui ), usa-se a fórmula padrão: - No equilíbrio (velocidade terminal) vale:
- Peso: força gravitacional sobre a esfera,
Passo 3
Escrever fórmulas geométricas e as expressões das forças, definindo cada símbolo:
- Volume da esfera de diâmetro
: - Área projetada (seção transversal) da esfera:
- Peso da esfera (massa
): - Empuxo:
- Arrasto com coeficiente
(igual ao do jargão):
Passo 4
Montar a equação de equilíbrio e isolar
. A condição de equilíbrio é
. Substituindo as expressões:
Fatorando e simplificando
:
Agora isolar
:
Simplificando o coeficiente numérico
:
Portanto
Observação importante sobre a forma:
é proporcional à raiz quadrada de
, isto é
, quando todos os outros parâmetros (
) são mantidos fixos.
Passo 5
Usar a dependência
para calcular a razão pedida. Para
e
:
Note que muitos fatores (como
e constantes geométricas) cancelam exatamente na razão, por isso a resposta depende apenas da relação entre os diâmetros sob a hipótese dada.
Passo 6
Comentário final (didático e prático, para a prova):
- A chave do raciocínio foi equilibrar peso menos empuxo com arrasto e usar fórmulas geométricas básicas da esfera.
- A hipótese de coeficiente de arrasto constante
é forte: em regimes reais o coeficiente costuma depender do número de Reynolds (e portanto de e de ), o que complicaria a relação. Mas o enunciado fixou igual para as duas esferas, permitindo o cancelamento e a dependência simples . - Em prova: escreva todas as forças, substitua volume/área, faça a simplificação simbólica e só no fim plugue a relação
. Isso evita erros de cancelamento.