Em um fluido estagnado de densidade \rho e viscosidade \mu, uma esfera de diâmetro D1 e densidade \rho é solta e alcança uma velocidade terminal VT1. Se, no mesmo fluido, fosse solta uma esfera com a mesma densidade \rho \mathrm{s}, mas com diâmetro \mathrm{D} 2=2 \mathrm{D} 1, a velocidade terminal seria VT2. Expresse a razão VT2/VT1, considerando os seguintes casos:
Para ambas as esferas, o coeficiente de arraste é um valor constante f.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Fluido com densidade \rho e viscosidade \mu.
  • Duas esferas, ambas com densidade \rho_s.
  • Diâmetro da primeira esfera: D_1. Velocidade terminal observada: V_{T1}.
  • Diâmetro da segunda esfera: D_2 = 2 D_1. Velocidade terminal desejada: V_{T2}.
  • Para ambas as esferas, o coeficiente de arrasto é um valor constante f (mesmo f para as duas).
    O que o problema pede: expressar a razão \dfrac{V_{T2}}{V_{T1}} sob a hipótese de f constante para as duas esferas.

Passo 2

Conceito físico essencial (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Velocidade terminal ocorre quando a esfera cai com velocidade constante; isso significa que a soma das forças verticais sobre a esfera é zero: o peso para baixo é exatamente balanceado pela soma da força de empuxo para cima e pela força de arrasto para cima.
  • Forças envolvidas:
    • Peso: força gravitacional sobre a esfera, W = m g, onde m é a massa da esfera e g a aceleração da gravidade.
    • Empuxo (princípio de Arquimedes): força para cima igual ao peso do fluido deslocado, B = \rho V g, onde V é o volume da esfera.
    • Arrasto (força resistiva do fluido): para um corpo com área projetada A, velocidade V_T e coeficiente de arrasto C_d (aqui f), usa-se a fórmula padrão: F_D = \tfrac{1}{2} C_d \,\rho\, A\, V_T^2.
    • No equilíbrio (velocidade terminal) vale: \text{peso} - \text{empuxo} = \text{arrasto}.

Passo 3

Escrever fórmulas geométricas e as expressões das forças, definindo cada símbolo:
  • Volume da esfera de diâmetro D: V = \frac{\pi D^3}{6}.
  • Área projetada (seção transversal) da esfera: A = \frac{\pi D^2}{4}.
  • Peso da esfera (massa \times g): W = \rho_s V g = \rho_s \left(\frac{\pi D^3}{6}\right) g.
  • Empuxo: B = \rho V g = \rho \left(\frac{\pi D^3}{6}\right) g.
  • Arrasto com coeficiente f (igual ao C_d do jargão): F_D = \frac{1}{2} f\, \rho\, A\, V_T^2 = \frac{1}{2} f\, \rho \left(\frac{\pi D^2}{4}\right) V_T^2.

Passo 4

Montar a equação de equilíbrio e isolar V_T. A condição de equilíbrio é W - B = F_D. Substituindo as expressões:
\rho_s\left(\frac{\pi D^3}{6}\right) g - \rho\left(\frac{\pi D^3}{6}\right) g = \frac{1}{2} f\, \rho \left(\frac{\pi D^2}{4}\right) V_T^2.
Fatorando e simplificando \pi:
(\rho_s - \rho)\frac{D^3 g}{6} = \frac{f \rho D^2 V_T^2}{8}.
Agora isolar V_T^2:
V_T^2 = \frac{(\rho_s - \rho) D^3 g}{6} \cdot \frac{8}{f \rho D^2} = \frac{8}{6 f}\,\frac{(\rho_s - \rho) g D}{\rho}.
Simplificando o coeficiente numérico \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}:
V_T^2 = \frac{4}{3 f}\,\frac{(\rho_s - \rho) g D}{\rho}.
Portanto
V_T = \sqrt{\frac{4}{3 f}\,\frac{(\rho_s - \rho) g}{\rho}\;D }.
Observação importante sobre a forma: V_T é proporcional à raiz quadrada de D, isto é V_T\propto \sqrt{D}, quando todos os outros parâmetros ( \rho_s,\rho,g,f) são mantidos fixos.

Passo 5

Usar a dependência V_T\propto \sqrt{D} para calcular a razão pedida. Para D_1 e D_2=2D_1:
\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \sqrt{\frac{D_2}{D_1}} = \sqrt{\frac{2D_1}{D_1}} = \sqrt{2}.
Note que muitos fatores (como \rho_s,\rho,g,f e constantes geométricas) cancelam exatamente na razão, por isso a resposta depende apenas da relação entre os diâmetros sob a hipótese dada.

Passo 6

Comentário final (didático e prático, para a prova):
  • A chave do raciocínio foi equilibrar peso menos empuxo com arrasto e usar fórmulas geométricas básicas da esfera.
  • A hipótese de coeficiente de arrasto constante f é forte: em regimes reais o coeficiente C_d costuma depender do número de Reynolds (e portanto de V_T e de \mu), o que complicaria a relação. Mas o enunciado fixou f igual para as duas esferas, permitindo o cancelamento e a dependência simples V_T\propto\sqrt{D}.
  • Em prova: escreva todas as forças, substitua volume/área, faça a simplificação simbólica e só no fim plugue a relação D_2=2D_1. Isso evita erros de cancelamento.

Resposta

\sqrt{2}

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