Em um fluido estagnado de densidade \rho e viscosidade \mu, uma esfera de diâmetro D1 e densidade \rho é solta e alcança uma velocidade terminal VT1. Se, no mesmo fluido, fosse solta uma esfera com a mesma densidade \rho \mathrm{s}, mas com diâmetro \mathrm{D} 2=2 \mathrm{D} 1, a velocidade terminal seria VT2. Expresse a razão VT2/VT1, considerando os seguintes casos:
Para ambas as esferas, a lei de Stokes é obedecida.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma razão entre velocidades terminais:
  • Fluido estagnado com densidade \rho e viscosidade \mu.
  • Duas esferas de mesma densidade \rho_s (a densidade das esferas é a mesma para as duas), com diâmetros D_1 e D_2=2D_1.
  • A esfera de diâmetro D_1 alcança velocidade terminal V_{T1}.
  • A esfera de diâmetro D_2 alcançaria velocidade terminal V_{T2}.
  • Pergunta: calcular a razão \dfrac{V_{T2}}{V_{T1}} no caso em que, para ambas as esferas, a lei de Stokes é obedecida.

Passo 2

Entendimento físico do equilíbrio na velocidade terminal (apenas listar forças, sem resolver ainda):
  • Na velocidade terminal, a soma das forças sobre a esfera é zero (força peso para baixo menos empuxo para cima menos arrasto para cima = 0).
  • Força peso da esfera: igual à massa vezes g. Se o volume da esfera for V_s, então a força peso é \rho_s V_s g.
  • Força de empuxo (Archimedes): peso do fluido deslocado, igual a \rho V_s g.
  • Força de arrasto no regime de Stokes (fluxo de baixo número de Reynolds) para uma esfera de raio a é 6\pi\mu a V_T. Como o diâmetro é D e a=D/2, essa expressão pode ser escrita em termos de D como F_{\text{arrasto}}=3\pi\mu D V_T.

Passo 3

Escrever a condição de equilíbrio de forças na velocidade terminal e explicá-la:
  • Equilíbrio: força peso menos empuxo deve ser igual ao arrasto:
\rho_s V_s g - \rho V_s g = F_{\text{arrasto}}.
  • O lado esquerdo \rho_s V_s g - \rho V_s g = (\rho_s-\rho)V_s g é a força resultante motriz (peso aparente) que tende a puxar a esfera para baixo.
  • Substituindo o arrasto de Stokes em termos de D:
(\rho_s-\rho)V_s g = 3\pi\mu D V_T.

Passo 4

Expressar o volume da esfera e isolar V_T (passo a passo nas contas):
  • Volume de uma esfera de diâmetro D é
V_s=\frac{\pi}{6}D^3.
  • Substituindo V_s na equação de equilíbrio:
(\rho_s-\rho)\left(\frac{\pi}{6}D^3\right)g = 3\pi\mu D V_T.
  • Simplificar cancelando \pi e reduzindo potências de D:
(\rho_s-\rho)\frac{D^3}{6}g = 3\mu D V_T.
(\rho_s-\rho)\frac{D^2}{6}g = 3\mu V_T.
  • Isolando V_T:
V_T = \frac{(\rho_s-\rho)g D^2}{18\,\mu}.
  • Comentário: essa expressão mostra que, no regime de Stokes, a velocidade terminal escala como D^2 (proporcional ao quadrado do diâmetro).

Passo 5

Calcular a razão \dfrac{V_{T2}}{V_{T1}} usando a dependência em D^2:
  • Para a esfera 1:
V_{T1} = \frac{(\rho_s-\rho)g D_1^2}{18\mu}.
  • Para a esfera 2 (com D_2=2D_1):
V_{T2} = \frac{(\rho_s-\rho)g D_2^2}{18\mu} = \frac{(\rho_s-\rho)g (2D_1)^2}{18\mu} = \frac{(\rho_s-\rho)g 4D_1^2}{18\mu}.
  • Dividindo V_{T2} por V_{T1} os fatores comuns cancelam:
\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \frac{4D_1^2}{D_1^2} = 4.

Resposta

\displaystyle \frac{V_{T2}}{V_{T1}}=4

Exercícios relacionados