Em um fluido estagnado de densidade
e viscosidade
, uma esfera de diâmetro D1 e densidade
é solta e alcança uma velocidade terminal VT1. Se, no mesmo fluido, fosse solta uma esfera com a mesma densidade
, mas com diâmetro
, a velocidade terminal seria VT2. Expresse a razão VT2/VT1, considerando os seguintes casos:
Para ambas as esferas, a lei de Stokes é obedecida.
Para ambas as esferas, a lei de Stokes é obedecida.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma razão entre velocidades terminais:
- Fluido estagnado com densidade
e viscosidade . - Duas esferas de mesma densidade
(a densidade das esferas é a mesma para as duas), com diâmetros e . - A esfera de diâmetro
alcança velocidade terminal . - A esfera de diâmetro
alcançaria velocidade terminal . - Pergunta: calcular a razão
no caso em que, para ambas as esferas, a lei de Stokes é obedecida.
Passo 2
Entendimento físico do equilíbrio na velocidade terminal (apenas listar forças, sem resolver ainda):
- Na velocidade terminal, a soma das forças sobre a esfera é zero (força peso para baixo menos empuxo para cima menos arrasto para cima = 0).
- Força peso da esfera: igual à massa vezes
. Se o volume da esfera for , então a força peso é . - Força de empuxo (Archimedes): peso do fluido deslocado, igual a
. - Força de arrasto no regime de Stokes (fluxo de baixo número de Reynolds) para uma esfera de raio
é . Como o diâmetro é e , essa expressão pode ser escrita em termos de como .
Passo 3
Escrever a condição de equilíbrio de forças na velocidade terminal e explicá-la:
- Equilíbrio: força peso menos empuxo deve ser igual ao arrasto:
- O lado esquerdo
é a força resultante motriz (peso aparente) que tende a puxar a esfera para baixo. - Substituindo o arrasto de Stokes em termos de
:
Passo 4
Expressar o volume da esfera e isolar
(passo a passo nas contas):
- Volume de uma esfera de diâmetro
é
- Substituindo
na equação de equilíbrio:
- Simplificar cancelando
e reduzindo potências de :
- Isolando
:
- Comentário: essa expressão mostra que, no regime de Stokes, a velocidade terminal escala como
(proporcional ao quadrado do diâmetro).
Passo 5
Calcular a razão
usando a dependência em
:
- Para a esfera 1:
- Para a esfera 2 (com
):
- Dividindo
por os fatores comuns cancelam: