Considerando a escolha aleatória de uma das permutações simples do número 47562 , qual a probabilidade desse número ser impar?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade, ao escolher aleatoriamente uma das permutações simples do número 47562, de que o número formado seja ímpar?”
Informações relevantes dadas:
  • Os dígitos são 4,7,5,6,2 (todos distintos).
  • Uma permutação simples significa rearranjar todos os dígitos formando números de 5 algarismos.
  • Um número é ímpar se e somente se seu algarismo da unidade (último dígito) for ímpar.

Passo 2

Entendendo a condição de ímpar: para saber se um número inteiro é ímpar basta olhar o último dígito. Se o último dígito for um dos dígitos ímpares disponíveis, o número inteiro é ímpar. Aqui os dígitos ímpares entre 4,7,5,6,2 são 7 e 5. Logo, a permutação será ímpar exatamente quando o último dígito for 7 ou 5.

Passo 3

Contar o total de permutações possíveis: com 5 dígitos distintos, o número de permutações (todos os arranjos diferentes) é o fatorial de 5,
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Explicação do conceito de fatorial: n! é o número de maneiras de ordenar n objetos distintos; aqui cada permutação corresponde a um número de 5 algarismos.

Passo 4

Contar as permutações favoráveis (números ímpares): fixando o último dígito como um dígito ímpar (temos 2 opções: 7 ou 5), os 4 dígitos restantes podem ser permutados livremente nas 4 posições restantes. O número de arranjos para cada escolha do último dígito é
4! = 24.
Como há 2 escolhas possíveis para o último dígito ímpar, o total de permutações favoráveis é
2\cdot 4! = 2\cdot 24 = 48.

Passo 5

Calcular a probabilidade como favoráveis sobre total:
\text{Probabilidade} = \frac{48}{120}.
Simplificando a fração:
\frac{48}{120} = \frac{48\div 24}{120\div 24} = \frac{2}{5}.
Em forma decimal isso é 0,4.

Passo 6

Observação alternativa (atalho útil na prova): por simetria, numa escolha aleatória de uma permutação dos dígitos distintos, cada dígito tem igual probabilidade de ocupar a última posição. Assim a probabilidade do número ser ímpar é simplesmente a proporção de dígitos ímpares entre todos os dígitos, isto é \dfrac{2}{5} — mesmo resultado, de forma mais rápida.

Resposta

\dfrac{2}{5}=0,4

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