Considerando a escolha aleatória de uma das permutações simples do número 47562 , qual a probabilidade desse número ser impar?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade, ao escolher aleatoriamente uma das permutações simples do número
, de que o número formado seja ímpar?”
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Os dígitos são
(todos distintos). - Uma permutação simples significa rearranjar todos os dígitos formando números de
algarismos. - Um número é ímpar se e somente se seu algarismo da unidade (último dígito) for ímpar.
Passo 2
Entendendo a condição de ímpar: para saber se um número inteiro é ímpar basta olhar o último dígito. Se o último dígito for um dos dígitos ímpares disponíveis, o número inteiro é ímpar. Aqui os dígitos ímpares entre
são
e
. Logo, a permutação será ímpar exatamente quando o último dígito for
ou
.
Passo 3
Contar o total de permutações possíveis: com
dígitos distintos, o número de permutações (todos os arranjos diferentes) é o fatorial de
,
Explicação do conceito de fatorial:
é o número de maneiras de ordenar
objetos distintos; aqui cada permutação corresponde a um número de
algarismos.
Passo 4
Contar as permutações favoráveis (números ímpares): fixando o último dígito como um dígito ímpar (temos
opções:
ou
), os
dígitos restantes podem ser permutados livremente nas
posições restantes. O número de arranjos para cada escolha do último dígito é
Como há
escolhas possíveis para o último dígito ímpar, o total de permutações favoráveis é
Passo 5
Calcular a probabilidade como favoráveis sobre total:
Simplificando a fração:
Em forma decimal isso é
.
Passo 6
Observação alternativa (atalho útil na prova): por simetria, numa escolha aleatória de uma permutação dos dígitos distintos, cada dígito tem igual probabilidade de ocupar a última posição. Assim a probabilidade do número ser ímpar é simplesmente a proporção de dígitos ímpares entre todos os dígitos, isto é
— mesmo resultado, de forma mais rápida.